Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrcl 36108
Description: A member of the kernel of a functional is a vector. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrcl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrcl.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrcl.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrcl ((𝑊𝑌𝐺𝐹𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑋𝑉)

Proof of Theorem lkrcl
StepHypRef Expression
1 lkrcl.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2818 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2818 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
4 lkrcl.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrcl.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5ellkr 36105 . . 3 ((𝑊𝑌𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾𝐺) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
76simprbda 499 . 2 (((𝑊𝑌𝐺𝐹) ∧ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑋𝑉)
873impa 1102 1 ((𝑊𝑌𝐺𝐹𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑋𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556  0gc0g 16701  LFnlclfn 36073  LKerclk 36101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-map 8397  df-lfl 36074  df-lkr 36102
This theorem is referenced by:  lkrlss  36111  lkrin  36180
  Copyright terms: Public domain W3C validator