Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkreqN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkreqN 34952
Description: Proportional functionals have equal kernels. (Contributed by NM, 28-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lkreq.s 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
lkreq.r 𝑅 = (Base‘𝑆)
lkreq.o 0 = (0g𝑆)
lkreq.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkreq.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkreq.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkreq.t · = ( ·𝑠𝐷)
lkreq.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkreq.a (𝜑𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }))
lkreq.h (𝜑𝐻𝐹)
lkreq.g (𝜑𝐺 = (𝐴 · 𝐻))
Assertion
Ref Expression
lkreqN (𝜑 → (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))

Proof of Theorem lkreqN
StepHypRef Expression
1 lkreq.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 = (𝐴 · 𝐻))
21eqeq1d 2754 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐺 = (0g𝐷) ↔ (𝐴 · 𝐻) = (0g𝐷)))
3 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
4 lkreq.t . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝐷)
5 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
6 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
7 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘𝐷)) = (0g‘(Scalar‘𝐷))
8 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (0g𝐷) = (0g𝐷)
9 lkreq.d . . . . . . . . . . 11 𝐷 = (LDual‘𝑊)
10 lkreq.w . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
119, 10lduallvec 34936 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ LVec)
12 lkreq.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }))
1312eldifad 3719 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴𝑅)
14 lkreq.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (Scalar‘𝑊)
15 lkreq.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (Base‘𝑆)
1614, 15, 9, 5, 6, 10ldualsbase 34915 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = 𝑅)
1713, 16eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
18 lkreq.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
19 lkreq.h . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻𝐹)
2018, 9, 3, 10, 19ldualelvbase 34909 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
213, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 17, 20lvecvs0or 19302 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐻) = (0g𝐷) ↔ (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = (0g𝐷))))
22 lkreq.o . . . . . . . . . . . . 13 0 = (0g𝑆)
23 lveclmod 19300 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2410, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2514, 22, 9, 5, 7, 24ldual0 34929 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝐷)) = 0 )
2625eqeq2d 2762 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ↔ 𝐴 = 0 ))
27 eldifsni 4458 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ (𝑅 ∖ { 0 }) → 𝐴0 )
2812, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴0 )
2928a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐻 ≠ (0g𝐷) → 𝐴0 ))
3029necon4d 2948 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 = 0𝐻 = (0g𝐷)))
3126, 30sylbid 230 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) → 𝐻 = (0g𝐷)))
32 idd 24 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐻 = (0g𝐷) → 𝐻 = (0g𝐷)))
3331, 32jaod 394 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐴 = (0g‘(Scalar‘𝐷)) ∨ 𝐻 = (0g𝐷)) → 𝐻 = (0g𝐷)))
3421, 33sylbid 230 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐻) = (0g𝐷) → 𝐻 = (0g𝐷)))
352, 34sylbid 230 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 = (0g𝐷) → 𝐻 = (0g𝐷)))
36 nne 2928 . . . . . . 7 𝐻 ≠ (0g𝐷) ↔ 𝐻 = (0g𝐷))
3735, 36syl6ibr 242 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 = (0g𝐷) → ¬ 𝐻 ≠ (0g𝐷)))
3837con3d 148 . . . . 5 (𝜑 → (¬ ¬ 𝐻 ≠ (0g𝐷) → ¬ 𝐺 = (0g𝐷)))
3938orrd 392 . . . 4 (𝜑 → (¬ 𝐻 ≠ (0g𝐷) ∨ ¬ 𝐺 = (0g𝐷)))
40 ianor 510 . . . 4 (¬ (𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷)) ↔ (¬ 𝐻 ≠ (0g𝐷) ∨ ¬ 𝐺 = (0g𝐷)))
4139, 40sylibr 224 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷)))
42 df-pss 3723 . . . . . 6 ((𝐾𝐻) ⊊ (𝐾𝐺) ↔ ((𝐾𝐻) ⊆ (𝐾𝐺) ∧ (𝐾𝐻) ≠ (𝐾𝐺)))
43 lkreq.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
4418, 14, 15, 9, 4, 24, 13, 19ldualvscl 34921 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 · 𝐻) ∈ 𝐹)
451, 44eqeltrd 2831 . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
4618, 43, 9, 8, 10, 19, 45lkrpssN 34945 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐾𝐻) ⊊ (𝐾𝐺) ↔ (𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷))))
4742, 46syl5rbbr 275 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷)) ↔ ((𝐾𝐻) ⊆ (𝐾𝐺) ∧ (𝐾𝐻) ≠ (𝐾𝐺))))
4814, 15, 18, 43, 9, 4, 10, 19, 13lkrss 34950 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝐻) ⊆ (𝐾‘(𝐴 · 𝐻)))
491fveq2d 6348 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾𝐺) = (𝐾‘(𝐴 · 𝐻)))
5048, 49sseqtr4d 3775 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾𝐻) ⊆ (𝐾𝐺))
5150biantrurd 530 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾𝐻) ≠ (𝐾𝐺) ↔ ((𝐾𝐻) ⊆ (𝐾𝐺) ∧ (𝐾𝐻) ≠ (𝐾𝐺))))
5247, 51bitr4d 271 . . . 4 (𝜑 → ((𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷)) ↔ (𝐾𝐻) ≠ (𝐾𝐺)))
5352necon2bbid 2967 . . 3 (𝜑 → ((𝐾𝐻) = (𝐾𝐺) ↔ ¬ (𝐻 ≠ (0g𝐷) ∧ 𝐺 = (0g𝐷))))
5441, 53mpbird 247 . 2 (𝜑 → (𝐾𝐻) = (𝐾𝐺))
5554eqcomd 2758 1 (𝜑 → (𝐾𝐺) = (𝐾𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  cdif 3704  wss 3707  wpss 3708  {csn 4313  cfv 6041  (class class class)co 6805  Basecbs 16051  Scalarcsca 16138   ·𝑠 cvsca 16139  0gc0g 16294  LModclmod 19057  LVecclvec 19296  LFnlclfn 34839  LKerclk 34867  LDualcld 34905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-of 7054  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-oadd 7725  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-4 11265  df-5 11266  df-6 11267  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-struct 16053  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-sca 16151  df-vsca 16152  df-0g 16296  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-subg 17784  df-cntz 17942  df-lsm 18243  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-invr 18864  df-drng 18943  df-lmod 19059  df-lss 19127  df-lsp 19166  df-lvec 19297  df-lshyp 34759  df-lfl 34840  df-lkr 34868  df-ldual 34906
This theorem is referenced by:  lkrlspeqN  34953  lcdlkreq2N  37406
  Copyright terms: Public domain W3C validator