Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrin 33952
Description: Intersection of the kernels of 2 functionals is included in the kernel of their sum. (Contributed by NM, 7-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrin.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrin.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrin.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
lkrin.p + = (+g𝐷)
lkrin.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lkrin.e (𝜑𝐺𝐹)
lkrin.g (𝜑𝐻𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrin (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∩ (𝐾𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))

Proof of Theorem lkrin
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elin 3776 . . 3 (𝑣 ∈ ((𝐾𝐺) ∩ (𝐾𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻)))
2 lkrin.w . . . . . . 7 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
32adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑊 ∈ LMod)
4 lkrin.e . . . . . . 7 (𝜑𝐺𝐹)
54adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝐺𝐹)
6 simprl 793 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾𝐺))
7 eqid 2621 . . . . . . 7 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
8 lkrin.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9 lkrin.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
107, 8, 9lkrcl 33880 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
113, 5, 6, 10syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑣 ∈ (Base‘𝑊))
12 eqid 2621 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
13 eqid 2621 . . . . . . 7 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
14 lkrin.d . . . . . . 7 𝐷 = (LDual‘𝑊)
15 lkrin.p . . . . . . 7 + = (+g𝐷)
16 lkrin.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐻𝐹)
1716adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝐻𝐹)
187, 12, 13, 8, 14, 15, 3, 5, 17, 11ldualvaddval 33919 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = ((𝐺𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻𝑣)))
19 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
2012, 19, 8, 9lkrf0 33881 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑣 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
213, 5, 6, 20syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → (𝐺𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
22 simprr 795 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))
2312, 19, 8, 9lkrf0 33881 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹𝑣 ∈ (𝐾𝐻)) → (𝐻𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
243, 17, 22, 23syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → (𝐻𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
2521, 24oveq12d 6625 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → ((𝐺𝑣)(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐻𝑣)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
2612lmodring 18795 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
272, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
28 ringgrp 18476 . . . . . . . . 9 ((Scalar‘𝑊) ∈ Ring → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
30 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
3130, 19grpidcl 17374 . . . . . . . . 9 ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3229, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
3330, 13, 19grplid 17376 . . . . . . . 8 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3429, 32, 33syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3534adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3618, 25, 353eqtrd 2659 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
378, 14, 15, 2, 4, 16ldualvaddcl 33918 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
3837adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹)
397, 12, 19, 8, 9ellkr 33877 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺 + 𝐻) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
403, 38, 39syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → (𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)) ↔ (𝑣 ∈ (Base‘𝑊) ∧ ((𝐺 + 𝐻)‘𝑣) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
4111, 36, 40mpbir2and 956 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻))) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))
4241ex 450 . . 3 (𝜑 → ((𝑣 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑣 ∈ (𝐾𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
431, 42syl5bi 232 . 2 (𝜑 → (𝑣 ∈ ((𝐾𝐺) ∩ (𝐾𝐻)) → 𝑣 ∈ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻))))
4443ssrdv 3590 1 (𝜑 → ((𝐾𝐺) ∩ (𝐾𝐻)) ⊆ (𝐾‘(𝐺 + 𝐻)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cin 3555  wss 3556  cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  +gcplusg 15865  Scalarcsca 15868  0gc0g 16024  Grpcgrp 17346  Ringcrg 18471  LModclmod 18787  LFnlclfn 33845  LKerclk 33873  LDualcld 33911
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-of 6853  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-1o 7508  df-oadd 7512  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-fin 7906  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-4 11028  df-5 11029  df-6 11030  df-n0 11240  df-z 11325  df-uz 11635  df-fz 12272  df-struct 15786  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-plusg 15878  df-sca 15881  df-vsca 15882  df-0g 16026  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-lmod 18789  df-lfl 33846  df-lkr 33874  df-ldual 33912
This theorem is referenced by:  lclkrlem2e  36301  lclkrlem2f  36302  lclkrlem2r  36314  lclkrlem2v  36318  lclkrslem2  36328  lcfrlem2  36333
  Copyright terms: Public domain W3C validator