Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlsp 34884
Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel (by ellkr 34871) is the whole vector space. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrlsp.o 0 = (0g𝐷)
lkrlsp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp.p = (LSSum‘𝑊)
lkrlsp.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrlsp ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19300 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
213ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simp2r 1240 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → 𝐺𝐹)
4 lkrlsp.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrlsp.k . . . . . 6 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6 eqid 2752 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
74, 5, 6lkrlss 34877 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
82, 3, 7syl2anc 696 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 simp2l 1239 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋𝑉)
10 lkrlsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 lkrlsp.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1210, 6, 11lspsncl 19171 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
132, 9, 12syl2anc 696 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
14 lkrlsp.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
156, 14lsmcl 19277 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
162, 8, 13, 15syl3anc 1473 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1710, 6lssss 19131 . . 3 (((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
19 simpl1 1225 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
2019, 1syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
21 simpr 479 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢𝑉)
22 lkrlsp.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2322lmodring 19065 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
2420, 23syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
25 simpl2r 1282 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝐺𝐹)
26 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
2722, 26, 10, 4lflcl 34846 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑢𝑉) → (𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷))
2819, 25, 21, 27syl3anc 1473 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷))
2922lvecdrng 19299 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
3019, 29syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
31 simpl2l 1280 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑋𝑉)
3222, 26, 10, 4lflcl 34846 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
3319, 25, 31, 32syl3anc 1473 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
34 simpl3 1229 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
35 lkrlsp.o . . . . . . . . . 10 0 = (0g𝐷)
36 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (invr𝐷) = (invr𝐷)
3726, 35, 36drnginvrcl 18958 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝐷))
3830, 33, 34, 37syl3anc 1473 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝐷))
39 eqid 2752 . . . . . . . . 9 (.r𝐷) = (.r𝐷)
4026, 39ringcl 18753 . . . . . . . 8 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))) ∈ (Base‘𝐷))
4124, 28, 38, 40syl3anc 1473 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))) ∈ (Base‘𝐷))
42 eqid 2752 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
4310, 22, 42, 26lmodvscl 19074 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋𝑉) → (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
4420, 41, 31, 43syl3anc 1473 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
45 eqid 2752 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
46 eqid 2752 . . . . . . 7 (-g𝑊) = (-g𝑊)
4710, 45, 46lmodvnpcan 19111 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑉 ∧ (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))(+g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = 𝑢)
4820, 21, 44, 47syl3anc 1473 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))(+g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = 𝑢)
496lsssssubg 19152 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5020, 49syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
518adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5250, 51sseldd 3737 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐾𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5313adantr 472 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5450, 53sseldd 3737 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5510, 46lmodvsubcl 19102 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑉 ∧ (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉)
5620, 21, 44, 55syl3anc 1473 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉)
57 eqid 2752 . . . . . . . . . 10 (-g𝐷) = (-g𝐷)
5822, 57, 10, 46, 4lflsub 34849 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑢𝑉 ∧ (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))))
5920, 25, 21, 44, 58syl112anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺‘(𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))))
6022, 26, 39, 10, 42, 4lflmul 34850 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋𝑉)) → (𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))(.r𝐷)(𝐺𝑋)))
6120, 25, 41, 31, 60syl112anc 1477 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))(.r𝐷)(𝐺𝑋)))
6226, 39ringass 18756 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))) → (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋))))
6324, 28, 38, 33, 62syl13anc 1475 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋))))
64 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 (1r𝐷) = (1r𝐷)
6526, 35, 39, 64, 36drnginvrl 18960 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = (1r𝐷))
6630, 33, 34, 65syl3anc 1473 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = (1r𝐷))
6766oveq2d 6821 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋))) = ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(1r𝐷)))
6826, 39, 64ringridm 18764 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(1r𝐷)) = (𝐺𝑢))
6924, 28, 68syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(1r𝐷)) = (𝐺𝑢))
7067, 69eqtrd 2786 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋))) = (𝐺𝑢))
7161, 63, 703eqtrd 2790 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = (𝐺𝑢))
7271oveq2d 6821 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺𝑢)))
7322lmodfgrp 19066 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
7420, 73syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
7526, 35, 57grpsubid 17692 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺𝑢)) = 0 )
7674, 28, 75syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺𝑢)) = 0 )
7759, 72, 763eqtrd 2790 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺‘(𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = 0 )
7810, 22, 35, 4, 5ellkr 34871 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾𝐺) ↔ ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = 0 )))
7919, 25, 78syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾𝐺) ↔ ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = 0 )))
8056, 77, 79mpbir2and 995 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾𝐺))
8110, 42, 22, 26, 11, 20, 41, 31lspsneli 19195 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
8245, 14lsmelvali 18257 . . . . . 6 ((((𝐾𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾𝐺) ∧ (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))(+g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})))
8352, 54, 80, 81, 82syl22anc 1474 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))(+g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})))
8448, 83eqeltrrd 2832 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢 ∈ ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})))
8584ex 449 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝑢𝑉𝑢 ∈ ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋}))))
8685ssrdv 3742 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → 𝑉 ⊆ ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})))
8718, 86eqssd 3753 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wcel 2131  wne 2924  wss 3707  {csn 4313  cfv 6041  (class class class)co 6805  Basecbs 16051  +gcplusg 16135  .rcmulr 16136  Scalarcsca 16138   ·𝑠 cvsca 16139  0gc0g 16294  Grpcgrp 17615  -gcsg 17617  SubGrpcsubg 17781  LSSumclsm 18241  1rcur 18693  Ringcrg 18739  invrcinvr 18863  DivRingcdr 18941  LModclmod 19057  LSubSpclss 19126  LSpanclspn 19165  LVecclvec 19296  LFnlclfn 34839  LKerclk 34867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-tpos 7513  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-mulr 16149  df-0g 16296  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-submnd 17529  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-sbg 17620  df-subg 17784  df-cntz 17942  df-lsm 18243  df-cmn 18387  df-abl 18388  df-mgp 18682  df-ur 18694  df-ring 18741  df-oppr 18815  df-dvdsr 18833  df-unit 18834  df-invr 18864  df-drng 18943  df-lmod 19059  df-lss 19127  df-lsp 19166  df-lvec 19297  df-lfl 34840  df-lkr 34868
This theorem is referenced by:  lkrlsp2  34885
  Copyright terms: Public domain W3C validator