Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlsp2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlsp2 34893
Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 12-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp2.p = (LSSum‘𝑊)
lkrlsp2.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp2.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrlsp2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp2
StepHypRef Expression
1 simp2l 1242 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑋𝑉)
2 simp3 1133 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3 simp1 1131 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑊 ∈ LVec)
4 simp2r 1243 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝐺𝐹)
5 lkrlsp2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 eqid 2760 . . . . . . . 8 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
7 eqid 2760 . . . . . . . 8 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
8 lkrlsp2.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
9 lkrlsp2.k . . . . . . . 8 𝐾 = (LKer‘𝑊)
105, 6, 7, 8, 9ellkr 34879 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (𝑋 ∈ (𝐾𝐺) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
113, 4, 10syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑋 ∈ (𝐾𝐺) ↔ (𝑋𝑉 ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
121, 2, 11mpbir2and 995 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊))) → 𝑋 ∈ (𝐾𝐺))
13123expia 1115 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹)) → ((𝐺𝑋) = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)))
1413necon3bd 2946 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹)) → (¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺) → (𝐺𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
15143impia 1110 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
16 lkrlsp2.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
17 lkrlsp2.p . . 3 = (LSSum‘𝑊)
186, 7, 5, 16, 17, 8, 9lkrlsp 34892 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
1915, 18syld3an3 1516 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  {csn 4321  cfv 6049  (class class class)co 6813  Basecbs 16059  Scalarcsca 16146  0gc0g 16302  LSSumclsm 18249  LSpanclspn 19173  LVecclvec 19304  LFnlclfn 34847  LKerclk 34875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-tpos 7521  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-er 7911  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-mulr 16157  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-subg 17792  df-cntz 17950  df-lsm 18251  df-cmn 18395  df-abl 18396  df-mgp 18690  df-ur 18702  df-ring 18749  df-oppr 18823  df-dvdsr 18841  df-unit 18842  df-invr 18872  df-drng 18951  df-lmod 19067  df-lss 19135  df-lsp 19174  df-lvec 19305  df-lfl 34848  df-lkr 34876
This theorem is referenced by:  lkrlsp3  34894
  Copyright terms: Public domain W3C validator