Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlsp3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlsp3 33892
Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel is the whole vector space. (Contributed by NM, 29-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp3.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp3.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp3.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp3.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrlsp3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp3
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19028 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
213ad2ant1 1080 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simp2r 1086 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝐺𝐹)
4 lkrlsp3.f . . . . . . . 8 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrlsp3.k . . . . . . . 8 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6 eqid 2621 . . . . . . . 8 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
74, 5, 6lkrlss 33883 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
82, 3, 7syl2anc 692 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 lkrlsp3.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
106, 9lspid 18904 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → (𝑁‘(𝐾𝐺)) = (𝐾𝐺))
112, 8, 10syl2anc 692 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘(𝐾𝐺)) = (𝐾𝐺))
1211uneq1d 3746 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋})) = ((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋})))
1312fveq2d 6154 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))) = (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
14 lkrlsp3.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
1514, 4, 5, 2, 3lkrssv 33884 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉)
16 simp2l 1085 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑋𝑉)
1716snssd 4311 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
1814, 9lspun 18909 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
192, 15, 17, 18syl3anc 1323 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = (𝑁‘((𝑁‘(𝐾𝐺)) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
2014, 6, 9lspsncl 18899 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
212, 16, 20syl2anc 692 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
22 eqid 2621 . . . . 5 (LSSum‘𝑊) = (LSSum‘𝑊)
236, 9, 22lsmsp 19008 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
242, 8, 21, 23syl3anc 1323 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ (𝑁‘{𝑋}))))
2513, 19, 243eqtr4d 2665 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})))
2614, 9, 22, 4, 5lkrlsp2 33891 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → ((𝐾𝐺)(LSSum‘𝑊)(𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
2725, 26eqtrd 2655 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝑁‘((𝐾𝐺) ∪ {𝑋})) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cun 3554  wss 3556  {csn 4150  cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  LSSumclsm 17973  LModclmod 18787  LSubSpclss 18854  LSpanclspn 18893  LVecclvec 19024  LFnlclfn 33845  LKerclk 33873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905  ax-cnex 9939  ax-resscn 9940  ax-1cn 9941  ax-icn 9942  ax-addcl 9943  ax-addrcl 9944  ax-mulcl 9945  ax-mulrcl 9946  ax-mulcom 9947  ax-addass 9948  ax-mulass 9949  ax-distr 9950  ax-i2m1 9951  ax-1ne0 9952  ax-1rid 9953  ax-rnegex 9954  ax-rrecex 9955  ax-cnre 9956  ax-pre-lttri 9957  ax-pre-lttrn 9958  ax-pre-ltadd 9959  ax-pre-mulgt0 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-pss 3572  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-tp 4155  df-op 4157  df-uni 4405  df-int 4443  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-tr 4715  df-eprel 4987  df-id 4991  df-po 4997  df-so 4998  df-fr 5035  df-we 5037  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-pred 5641  df-ord 5687  df-on 5688  df-lim 5689  df-suc 5690  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-mpt2 6612  df-om 7016  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-tpos 7300  df-wrecs 7355  df-recs 7416  df-rdg 7454  df-er 7690  df-map 7807  df-en 7903  df-dom 7904  df-sdom 7905  df-pnf 10023  df-mnf 10024  df-xr 10025  df-ltxr 10026  df-le 10027  df-sub 10215  df-neg 10216  df-nn 10968  df-2 11026  df-3 11027  df-ndx 15787  df-slot 15788  df-base 15789  df-sets 15790  df-ress 15791  df-plusg 15878  df-mulr 15879  df-0g 16026  df-mgm 17166  df-sgrp 17208  df-mnd 17219  df-submnd 17260  df-grp 17349  df-minusg 17350  df-sbg 17351  df-subg 17515  df-cntz 17674  df-lsm 17975  df-cmn 18119  df-abl 18120  df-mgp 18414  df-ur 18426  df-ring 18473  df-oppr 18547  df-dvdsr 18565  df-unit 18566  df-invr 18596  df-drng 18673  df-lmod 18789  df-lss 18855  df-lsp 18894  df-lvec 19025  df-lfl 33846  df-lkr 33874
This theorem is referenced by:  lkrshp  33893
  Copyright terms: Public domain W3C validator