Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlss 33862
Description: The kernel of a linear functional is a subspace. (nlelshi 28768 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlss.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlss.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrlss.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrlss ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lkrlss
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . 4 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2 eqid 2621 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2621 . . . 4 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
4 lkrlss.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrlss.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
61, 2, 3, 4, 5lkrval2 33857 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) = {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))})
7 ssrab2 3666 . . 3 {𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∣ (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊))} ⊆ (Base‘𝑊)
86, 7syl6eqss 3634 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ⊆ (Base‘𝑊))
9 eqid 2621 . . . . . 6 (0g𝑊) = (0g𝑊)
101, 9lmod0vcl 18813 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
1110adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
122, 3, 9, 4lfl0 33832 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
131, 2, 3, 4, 5ellkr 33856 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((0g𝑊) ∈ (𝐾𝐺) ↔ ((0g𝑊) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘(0g𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
1411, 12, 13mpbir2and 956 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (0g𝑊) ∈ (𝐾𝐺))
15 ne0i 3897 . . 3 ((0g𝑊) ∈ (𝐾𝐺) → (𝐾𝐺) ≠ ∅)
1614, 15syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ≠ ∅)
17 simplll 797 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑊 ∈ LMod)
18 simplr 791 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
19 simpllr 798 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝐺𝐹)
20 simprl 793 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑥 ∈ (𝐾𝐺))
211, 4, 5lkrcl 33859 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
2217, 19, 20, 21syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑊))
23 eqid 2621 . . . . . . . 8 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
24 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
251, 2, 23, 24lmodvscl 18801 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
2617, 18, 22, 25syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊))
27 simprr 795 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))
281, 4, 5lkrcl 33859 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦 ∈ (𝐾𝐺)) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
2917, 19, 27, 28syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))
30 eqid 2621 . . . . . . 7 (+g𝑊) = (+g𝑊)
311, 30lmodvacl 18798 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥) ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊)) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
3217, 26, 29, 31syl3anc 1323 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊))
33 eqid 2621 . . . . . . . 8 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
34 eqid 2621 . . . . . . . 8 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
351, 30, 2, 23, 24, 33, 34, 4lfli 33828 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑦)))
3617, 19, 18, 22, 29, 35syl113anc 1335 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = ((𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑦)))
372, 3, 4, 5lkrf0 33860 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3817, 19, 20, 37syl3anc 1323 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺𝑥) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
3938oveq2d 6620 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥)) = (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
402lmodring 18792 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
4117, 40syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
4224, 34, 3ringrz 18509 . . . . . . . . 9 (((Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4341, 18, 42syl2anc 692 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4439, 43eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
452, 3, 4, 5lkrf0 33860 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑦 ∈ (𝐾𝐺)) → (𝐺𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4617, 19, 27, 45syl3anc 1323 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺𝑦) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
4744, 46oveq12d 6622 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((𝑟(.r‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑥))(+g‘(Scalar‘𝑊))(𝐺𝑦)) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))))
482lmodfgrp 18793 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
4917, 48syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
5024, 3grpidcl 17371 . . . . . . . 8 ((Scalar‘𝑊) ∈ Grp → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5149, 50syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5224, 33, 3grplid 17373 . . . . . . 7 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (0g‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5349, 51, 52syl2anc 692 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(0g‘(Scalar‘𝑊))) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
5436, 47, 533eqtrd 2659 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))
551, 2, 3, 4, 5ellkr 33856 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺) ↔ (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
5655ad2antrr 761 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺) ↔ (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝐺‘((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦)) = (0g‘(Scalar‘𝑊)))))
5732, 54, 56mpbir2and 956 . . . 4 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑥 ∈ (𝐾𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (𝐾𝐺))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺))
5857ralrimivva 2965 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ∀𝑥 ∈ (𝐾𝐺)∀𝑦 ∈ (𝐾𝐺)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺))
5958ralrimiva 2960 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (𝐾𝐺)∀𝑦 ∈ (𝐾𝐺)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺))
60 lkrlss.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
612, 24, 1, 30, 23, 60islss 18854 . 2 ((𝐾𝐺) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐾𝐺) ⊆ (Base‘𝑊) ∧ (𝐾𝐺) ≠ ∅ ∧ ∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (𝐾𝐺)∀𝑦 ∈ (𝐾𝐺)((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑥)(+g𝑊)𝑦) ∈ (𝐾𝐺)))
628, 16, 59, 61syl3anbrc 1244 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wral 2907  {crab 2911  wss 3555  c0 3891  cfv 5847  (class class class)co 6604  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  .rcmulr 15863  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  0gc0g 16021  Grpcgrp 17343  Ringcrg 18468  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LFnlclfn 33824  LKerclk 33852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lfl 33825  df-lkr 33853
This theorem is referenced by:  lkrssv  33863  lkrlsp  33869  lkrlsp3  33871  lkrshp  33872  lclkrlem2f  36281  lclkrlem2n  36289  lclkrlem2v  36297  lcfrlem25  36336  lcfrlem35  36346
  Copyright terms: Public domain W3C validator