Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrsc 36113
Description: The kernel of a nonzero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrsc.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t · = (.r𝐷)
lkrsc.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g (𝜑𝐺𝐹)
lkrsc.r (𝜑𝑅𝐾)
lkrsc.o 0 = (0g𝐷)
lkrsc.e (𝜑𝑅0 )
Assertion
Ref Expression
lkrsc (𝜑 → (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺))

Proof of Theorem lkrsc
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lkrsc.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
21fvexi 6677 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ V)
4 lkrsc.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝐾)
5 lkrsc.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
6 lkrsc.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐹)
7 lkrsc.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
8 lkrsc.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐷)
9 lkrsc.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
107, 8, 1, 9lflf 36079 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
115, 6, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
1211ffnd 6508 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn 𝑉)
13 eqidd 2819 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) = (𝐺𝑣))
143, 4, 12, 13ofc2 7422 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → ((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = ((𝐺𝑣) · 𝑅))
1514eqeq1d 2820 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ ((𝐺𝑣) · 𝑅) = 0 ))
16 lkrsc.o . . . . . 6 0 = (0g𝐷)
17 lkrsc.t . . . . . 6 · = (.r𝐷)
187lvecdrng 19806 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
195, 18syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ DivRing)
2019adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
215adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
226adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐺𝐹)
23 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
247, 8, 1, 9lflcl 36080 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
2521, 22, 23, 24syl3anc 1363 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
264adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑅𝐾)
27 lkrsc.e . . . . . . 7 (𝜑𝑅0 )
2827adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑅0 )
298, 16, 17, 20, 25, 26, 28drngmuleq0 19454 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝐺𝑣) · 𝑅) = 0 ↔ (𝐺𝑣) = 0 ))
3015, 29bitrd 280 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ (𝐺𝑣) = 0 ))
3130pm5.32da 579 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ∧ ((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = 0 )))
32 lveclmod 19807 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
335, 32syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
341, 7, 8, 17, 9, 33, 6, 4lflvscl 36093 . . . 4 (𝜑 → (𝐺f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)
35 lkrsc.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑊)
361, 7, 16, 9, 35ellkr 36105 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺f · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
375, 34, 36syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
381, 7, 16, 9, 35ellkr 36105 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = 0 )))
395, 6, 38syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = 0 )))
4031, 37, 393bitr4d 312 . 2 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ 𝑣 ∈ (𝐿𝐺)))
4140eqrdv 2816 1 (𝜑 → (𝐿‘(𝐺f · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  Vcvv 3492  {csn 4557   × cxp 5546  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  f cof 7396  Basecbs 16471  .rcmulr 16554  Scalarcsca 16556  0gc0g 16701  DivRingcdr 19431  LModclmod 19563  LVecclvec 19803  LFnlclfn 36073  LKerclk 36101
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lvec 19804  df-lfl 36074  df-lkr 36102
This theorem is referenced by:  lkrscss  36114  ldualkrsc  36183
  Copyright terms: Public domain W3C validator