Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrsc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrsc 34702
Description: The kernel of a nonzero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrsc.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t · = (.r𝐷)
lkrsc.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g (𝜑𝐺𝐹)
lkrsc.r (𝜑𝑅𝐾)
lkrsc.o 0 = (0g𝐷)
lkrsc.e (𝜑𝑅0 )
Assertion
Ref Expression
lkrsc (𝜑 → (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺))

Proof of Theorem lkrsc
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lkrsc.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 fvex 6239 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) ∈ V
31, 2eqeltri 2726 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
43a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑉 ∈ V)
5 lkrsc.r . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝐾)
6 lkrsc.w . . . . . . . . 9 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
7 lkrsc.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐹)
8 lkrsc.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
9 lkrsc.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐷)
10 lkrsc.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
118, 9, 1, 10lflf 34668 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉𝐾)
126, 7, 11syl2anc 694 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺:𝑉𝐾)
13 ffn 6083 . . . . . . . 8 (𝐺:𝑉𝐾𝐺 Fn 𝑉)
1412, 13syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 Fn 𝑉)
15 eqidd 2652 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) = (𝐺𝑣))
164, 5, 14, 15ofc2 6963 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = ((𝐺𝑣) · 𝑅))
1716eqeq1d 2653 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ ((𝐺𝑣) · 𝑅) = 0 ))
18 lkrsc.o . . . . . 6 0 = (0g𝐷)
19 lkrsc.t . . . . . 6 · = (.r𝐷)
208lvecdrng 19153 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
216, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ DivRing)
2221adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
236adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
247adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝐺𝐹)
25 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
268, 9, 1, 10lflcl 34669 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
2723, 24, 25, 26syl3anc 1366 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → (𝐺𝑣) ∈ 𝐾)
285adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑅𝐾)
29 lkrsc.e . . . . . . 7 (𝜑𝑅0 )
3029adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑣𝑉) → 𝑅0 )
319, 18, 19, 22, 27, 28, 30drngmuleq0 18818 . . . . 5 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝐺𝑣) · 𝑅) = 0 ↔ (𝐺𝑣) = 0 ))
3217, 31bitrd 268 . . . 4 ((𝜑𝑣𝑉) → (((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ (𝐺𝑣) = 0 ))
3332pm5.32da 674 . . 3 (𝜑 → ((𝑣𝑉 ∧ ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = 0 )))
34 lveclmod 19154 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
356, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
361, 8, 9, 19, 10, 35, 7, 5lflvscl 34682 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)
37 lkrsc.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑊)
381, 8, 18, 10, 37ellkr 34694 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
396, 36, 38syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣𝑉 ∧ ((𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
401, 8, 18, 10, 37ellkr 34694 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = 0 )))
416, 7, 40syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿𝐺) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝐺𝑣) = 0 )))
4233, 39, 413bitr4d 300 . 2 (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ 𝑣 ∈ (𝐿𝐺)))
4342eqrdv 2649 1 (𝜑 → (𝐿‘(𝐺𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  Vcvv 3231  {csn 4210   × cxp 5141   Fn wfn 5921  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  𝑓 cof 6937  Basecbs 15904  .rcmulr 15989  Scalarcsca 15991  0gc0g 16147  DivRingcdr 18795  LModclmod 18911  LVecclvec 19150  LFnlclfn 34662  LKerclk 34690
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lvec 19151  df-lfl 34663  df-lkr 34691
This theorem is referenced by:  lkrscss  34703  ldualkrsc  34772
  Copyright terms: Public domain W3C validator