Theorem lkrsc 34702

Description: The kernel of a nonzero scalar product of a functional equals the kernel of the functional. (Contributed by NM, 9-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrsc.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrsc.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrsc.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
lkrsc.t	⊢ · = (.r‘𝐷)
lkrsc.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrsc.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
lkrsc.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lkrsc.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lkrsc.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
lkrsc.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrsc.e	⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lkrsc	⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺))

Proof of Theorem lkrsc

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkrsc.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		fvex 6239	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2726	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 ∈ V
4	3	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ V)
5		lkrsc.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝐾)
6		lkrsc.w	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
7		lkrsc.g	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
8		lkrsc.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
9		lkrsc.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐷)
10		lkrsc.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
11	8, 9, 1, 10	lflf 34668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
12	6, 7, 11	syl2anc 694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑉⟶𝐾)
13		ffn 6083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:𝑉⟶𝐾 → 𝐺 Fn 𝑉)
14	12, 13	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝑉)
15		eqidd 2652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) = (𝐺‘𝑣))
16	4, 5, 14, 15	ofc2 6963	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → ((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = ((𝐺‘𝑣) · 𝑅))
17	16	eqeq1d 2653	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ ((𝐺‘𝑣) · 𝑅) = 0 ))
18		lkrsc.o	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
19		lkrsc.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝐷)
20	8	lvecdrng 19153	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
21	6, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ DivRing)
22	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
23	6	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
24	7	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
25		simpr 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
26	8, 9, 1, 10	lflcl 34669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
27	23, 24, 25, 26	syl3anc 1366	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑣) ∈ 𝐾)
28	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝐾)
29		lkrsc.e	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ≠ 0 )
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑅 ≠ 0 )
31	9, 18, 19, 22, 27, 28, 30	drngmuleq0 18818	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑣) · 𝑅) = 0 ↔ (𝐺‘𝑣) = 0 ))
32	17, 31	bitrd 268	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ↔ (𝐺‘𝑣) = 0 ))
33	32	pm5.32da 674	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 ) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = 0 )))
34		lveclmod 19154	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
35	6, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
36	1, 8, 9, 19, 10, 35, 7, 5	lflvscl 34682	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹)
37		lkrsc.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑊)
38	1, 8, 18, 10, 37	ellkr 34694	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅})) ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
39	6, 36, 38	syl2anc 694	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ ((𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))‘𝑣) = 0 )))
40	1, 8, 18, 10, 37	ellkr 34694	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = 0 )))
41	6, 7, 40	syl2anc 694	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑣) = 0 )))
42	33, 39, 41	3bitr4d 300	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑣 ∈ (𝐿‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) ↔ 𝑣 ∈ (𝐿‘𝐺)))
43	42	eqrdv 2649	1 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘(𝐺 ∘𝑓 · (𝑉 × {𝑅}))) = (𝐿‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  Vcvv 3231  {csn 4210   × cxp 5141   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ∘_𝑓 cof 6937  Basecbs 15904  ._rcmulr 15989  Scalarcsca 15991  0_gc0g 16147  DivRingcdr 18795  LModclmod 18911  LVecclvec 19150  LFnlclfn 34662  LKerclk 34690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-tpos 7397  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-mgp 18536  df-ur 18548  df-ring 18595  df-oppr 18669  df-dvdsr 18687  df-unit 18688  df-invr 18718  df-drng 18797  df-lmod 18913  df-lvec 19151  df-lfl 34663  df-lkr 34691

This theorem is referenced by:  lkrscss  34703  ldualkrsc  34772