Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrssv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrssv 33863
Description: The kernel of a linear functional is a set of vectors. (Contributed by NM, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrssv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrssv.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrssv.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
lkrssv.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lkrssv.g (𝜑𝐺𝐹)
Assertion
Ref Expression
lkrssv (𝜑 → (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉)

Proof of Theorem lkrssv
StepHypRef Expression
1 lkrssv.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lkrssv.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
3 lkrssv.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
4 lkrssv.k . . . 4 𝐾 = (LKer‘𝑊)
5 eqid 2621 . . . 4 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
63, 4, 5lkrlss 33862 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
71, 2, 6syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8 lkrssv.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
98, 5lssss 18856 . 2 ((𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) → (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉)
107, 9syl 17 1 (𝜑 → (𝐾𝐺) ⊆ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wss 3555  cfv 5847  Basecbs 15781  LModclmod 18784  LSubSpclss 18851  LFnlclfn 33824  LKerclk 33852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-lmod 18786  df-lss 18852  df-lfl 33825  df-lkr 33853
This theorem is referenced by:  lkrscss  33865  lkrlsp3  33871  lshpkr  33884  lfl1dim  33888  lfl1dim2N  33889  lkrpssN  33930  dochlkr  36154  dochkrsat  36224  dochkrsat2  36225  dochsnkrlem1  36238  dochsnkr  36241  dochfln0  36246  dochkr1  36247  dochkr1OLDN  36248  lcfl4N  36264  lcfl5  36265  lcfl6lem  36267  lcfl6  36269  lcfl9a  36274  lclkrlem2s  36294  lclkrlem2v  36297  lclkrslem1  36306  lclkrslem2  36307  lcfrvalsnN  36310  lcfrlem4  36314  lcfrlem5  36315  lcfrlem6  36316  lcfrlem16  36327  lcfrlem26  36337  lcfrlem36  36347  lcfr  36354  mapdsn  36410  mapdrvallem2  36414  mapd0  36434  hdmaplkr  36685
  Copyright terms: Public domain W3C validator