Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnbase Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnbase 34272
Description: A lattice line is a lattice element. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnbase.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
llnbase.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnbase (𝑋𝑁𝑋𝐵)

Proof of Theorem llnbase
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0i 3896 . . . 4 (𝑋𝑁 → ¬ 𝑁 = ∅)
2 llnbase.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
32eqeq1i 2626 . . . 4 (𝑁 = ∅ ↔ (LLines‘𝐾) = ∅)
41, 3sylnib 318 . . 3 (𝑋𝑁 → ¬ (LLines‘𝐾) = ∅)
5 fvprc 6142 . . 3 𝐾 ∈ V → (LLines‘𝐾) = ∅)
64, 5nsyl2 142 . 2 (𝑋𝑁𝐾 ∈ V)
7 llnbase.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
8 eqid 2621 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
9 eqid 2621 . . . 4 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
107, 8, 9, 2islln 34269 . . 3 (𝐾 ∈ V → (𝑋𝑁 ↔ (𝑋𝐵 ∧ ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)))
1110simprbda 652 . 2 ((𝐾 ∈ V ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋𝐵)
126, 11mpancom 702 1 (𝑋𝑁𝑋𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908  Vcvv 3186  c0 3891   class class class wbr 4613  cfv 5847  Basecbs 15781  ccvr 34026  Atomscatm 34027  LLinesclln 34254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ral 2912  df-rex 2913  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-nul 3892  df-if 4059  df-sn 4149  df-pr 4151  df-op 4155  df-uni 4403  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-id 4989  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fv 5855  df-llines 34261
This theorem is referenced by:  islln2  34274  llnnleat  34276  llnneat  34277  atcvrlln2  34282  llnexatN  34284  llncmp  34285  2llnmat  34287  islpln3  34296  llnmlplnN  34302  lplnle  34303  lplnnle2at  34304  llncvrlpln2  34320  llncvrlpln  34321  2llnmj  34323  lplncmp  34325  lplnexatN  34326  lplnexllnN  34327  2llnm2N  34331  2llnm3N  34332  2llnm4  34333  2llnmeqat  34334  dalem21  34457  dalem54  34489  dalem55  34490  dalem57  34492  dalem60  34495  llnexchb2lem  34631  llnexchb2  34632  llnexch2N  34633
  Copyright terms: Public domain W3C validator