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Theorem llncvrlpln 34359
Description: An element covering a lattice line is a lattice plane and vice-versa. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llncvrlpln.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
llncvrlpln.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
llncvrlpln.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
llncvrlpln.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llncvrlpln (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝑁𝑌𝑃))

Proof of Theorem llncvrlpln
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll1 1098 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpll3 1100 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑌𝐵)
3 simpr 477 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋𝑁)
4 simplr 791 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋𝐶𝑌)
5 llncvrlpln.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 llncvrlpln.c . . . 4 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
7 llncvrlpln.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8 llncvrlpln.p . . . 4 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
95, 6, 7, 8lplni 34333 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵𝑋𝑁) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑌𝑃)
101, 2, 3, 4, 9syl31anc 1326 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑋𝑁) → 𝑌𝑃)
11 simpll1 1098 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝐾 ∈ HL)
12 simpll2 1099 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋𝐵)
13 eqid 2621 . . . . . . 7 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
1413, 8lplnneat 34346 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
1511, 14sylancom 700 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾))
16 simplr 791 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋𝐶𝑌)
17 breq1 4621 . . . . . . . 8 (𝑋 = (0.‘𝐾) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
1816, 17syl5ibcom 235 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
19 simpll3 1100 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑌𝐵)
20 eqid 2621 . . . . . . . . 9 (0.‘𝐾) = (0.‘𝐾)
215, 20, 6, 13isat2 34089 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝐵) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
2211, 19, 21syl2anc 692 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ (0.‘𝐾)𝐶𝑌))
2318, 22sylibrd 249 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑋 = (0.‘𝐾) → 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾)))
2423necon3bd 2804 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (¬ 𝑌 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾)))
2515, 24mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋 ≠ (0.‘𝐾))
267, 8lplnnelln 34347 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌𝑁)
2711, 26sylancom 700 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑌𝑁)
285, 6, 13, 7atcvrlln 34321 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ 𝑌𝑁))
2928adantr 481 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾) ↔ 𝑌𝑁))
3027, 29mtbird 315 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))
31 eqid 2621 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
325, 31, 20, 13, 7llnle 34319 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵) ∧ (𝑋 ≠ (0.‘𝐾) ∧ ¬ 𝑋 ∈ (Atoms‘𝐾))) → ∃𝑧𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
3311, 12, 25, 30, 32syl22anc 1324 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → ∃𝑧𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
34 simpr3 1067 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑋)
35 simpll1 1098 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ HL)
36 hlop 34164 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ OP)
38 simpr2 1066 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝑁)
395, 7llnbase 34310 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑁𝑧𝐵)
4038, 39syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐵)
41 simpll2 1099 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐵)
42 simpll3 1100 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌𝐵)
43 simpr1 1065 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑌𝑃)
445, 31, 6cvrle 34080 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
4544adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋(le‘𝐾)𝑌)
46 hlpos 34167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
4735, 46syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝐾 ∈ Poset)
485, 31postr 16885 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑧𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
4947, 40, 41, 42, 48syl13anc 1325 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → ((𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌))
5034, 45, 49mp2and 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧(le‘𝐾)𝑌)
5131, 6, 7, 8llncvrlpln2 34358 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑧𝑁𝑌𝑃) ∧ 𝑧(le‘𝐾)𝑌) → 𝑧𝐶𝑌)
5235, 38, 43, 50, 51syl31anc 1326 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧𝐶𝑌)
53 simplr 791 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝐶𝑌)
545, 31, 6cvrcmp2 34086 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ OP ∧ (𝑧𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑧𝐶𝑌𝑋𝐶𝑌)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑧 = 𝑋))
5537, 40, 41, 42, 52, 53, 54syl132anc 1341 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑧 = 𝑋))
5634, 55mpbid 222 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑧 = 𝑋)
5756, 38eqeltrrd 2699 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ (𝑌𝑃𝑧𝑁𝑧(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑋𝑁)
58573exp2 1282 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑌𝑃 → (𝑧𝑁 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑁))))
5958imp 445 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (𝑧𝑁 → (𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑁)))
6059rexlimdv 3024 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → (∃𝑧𝑁 𝑧(le‘𝐾)𝑋𝑋𝑁))
6133, 60mpd 15 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑌𝑃) → 𝑋𝑁)
6210, 61impbida 876 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑋𝑁𝑌𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908   class class class wbr 4618  cfv 5852  Basecbs 15792  lecple 15880  Posetcpo 16872  0.cp0 16969  OPcops 33974  ccvr 34064  Atomscatm 34065  HLchlt 34152  LLinesclln 34292  LPlanesclpl 34293
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-op 4160  df-uni 4408  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-id 4994  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-preset 16860  df-poset 16878  df-plt 16890  df-lub 16906  df-glb 16907  df-join 16908  df-meet 16909  df-p0 16971  df-lat 16978  df-clat 17040  df-oposet 33978  df-ol 33980  df-oml 33981  df-covers 34068  df-ats 34069  df-atl 34100  df-cvlat 34124  df-hlat 34153  df-llines 34299  df-lplanes 34300
This theorem is referenced by:  2lplnmN  34360  2llnmj  34361  lplncvrlvol  34417  2lplnm2N  34422  2lplnmj  34423
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