Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnexatN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnexatN 34308
Description: Given an atom on a line, there is another atom whose join equals the line. (Contributed by NM, 26-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexat.l = (le‘𝐾)
llnexat.j = (join‘𝐾)
llnexat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnexatN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑞   𝐾,𝑞   ,𝑞   𝑁,𝑞   𝑃,𝑞   𝑋,𝑞
Allowed substitution hint:   (𝑞)

Proof of Theorem llnexatN
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp3 1061 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → 𝑃𝐴)
3 simp2 1060 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → 𝑋𝑁)
41, 2, 33jca 1240 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁))
5 llnexat.l . . . 4 = (le‘𝐾)
6 eqid 2621 . . . 4 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
7 llnexat.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 llnexat.n . . . 4 𝑁 = (LLines‘𝐾)
95, 6, 7, 8atcvrlln2 34306 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
104, 9sylan 488 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
11 simpl1 1062 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
12 simpl3 1064 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐴)
13 eqid 2621 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 7atbase 34077 . . . . 5 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1512, 14syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
16 simpl2 1063 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋𝑁)
1713, 8llnbase 34296 . . . . 5 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
1816, 17syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
19 llnexat.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
2013, 5, 19, 6, 7cvrval3 34200 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋)))
2111, 15, 18, 20syl3anc 1323 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴𝑞 𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋)))
22 simpll1 1098 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
23 hlatl 34148 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → 𝐾 ∈ AtLat)
25 simpr 477 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑞𝐴)
26 simpll3 1100 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → 𝑃𝐴)
275, 7atncmp 34100 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ 𝑞𝐴𝑃𝐴) → (¬ 𝑞 𝑃𝑞𝑃))
2824, 25, 26, 27syl3anc 1323 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → (¬ 𝑞 𝑃𝑞𝑃))
2928anbi1d 740 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → ((¬ 𝑞 𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑞𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋)))
30 necom 2843 . . . . . 6 (𝑞𝑃𝑃𝑞)
31 eqcom 2628 . . . . . 6 ((𝑃 𝑞) = 𝑋𝑋 = (𝑃 𝑞))
3230, 31anbi12i 732 . . . . 5 ((𝑞𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞)))
3329, 32syl6bb 276 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) ∧ 𝑞𝐴) → ((¬ 𝑞 𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋) ↔ (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞))))
3433rexbidva 3042 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (∃𝑞𝐴𝑞 𝑃 ∧ (𝑃 𝑞) = 𝑋) ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞))))
3521, 34bitrd 268 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃( ⋖ ‘𝐾)𝑋 ↔ ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞))))
3610, 35mpbid 222 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑃𝐴) ∧ 𝑃 𝑋) → ∃𝑞𝐴 (𝑃𝑞𝑋 = (𝑃 𝑞)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wne 2790  wrex 2908   class class class wbr 4615  cfv 5849  (class class class)co 6607  Basecbs 15784  lecple 15872  joincjn 16868  ccvr 34050  Atomscatm 34051  AtLatcal 34052  HLchlt 34138  LLinesclln 34278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4733  ax-sep 4743  ax-nul 4751  ax-pow 4805  ax-pr 4869  ax-un 6905
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3419  df-csb 3516  df-dif 3559  df-un 3561  df-in 3563  df-ss 3570  df-nul 3894  df-if 4061  df-pw 4134  df-sn 4151  df-pr 4153  df-op 4157  df-uni 4405  df-iun 4489  df-br 4616  df-opab 4676  df-mpt 4677  df-id 4991  df-xp 5082  df-rel 5083  df-cnv 5084  df-co 5085  df-dm 5086  df-rn 5087  df-res 5088  df-ima 5089  df-iota 5812  df-fun 5851  df-fn 5852  df-f 5853  df-f1 5854  df-fo 5855  df-f1o 5856  df-fv 5857  df-riota 6568  df-ov 6610  df-oprab 6611  df-preset 16852  df-poset 16870  df-plt 16882  df-lub 16898  df-glb 16899  df-join 16900  df-meet 16901  df-p0 16963  df-lat 16970  df-clat 17032  df-oposet 33964  df-ol 33966  df-oml 33967  df-covers 34054  df-ats 34055  df-atl 34086  df-cvlat 34110  df-hlat 34139  df-llines 34285
This theorem is referenced by:  lplnexllnN  34351
  Copyright terms: Public domain W3C validator