Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnexch2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnexch2N 33968
Description: Line exchange property (compare cvlatexch2 33436 for atoms). (Contributed by NM, 18-Nov-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l = (le‘𝐾)
llnexch.j = (join‘𝐾)
llnexch.m = (meet‘𝐾)
llnexch.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexch.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnexch2N ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 → (𝑋 𝑍) 𝑌))

Proof of Theorem llnexch2N
StepHypRef Expression
1 llnexch.l . . 3 = (le‘𝐾)
2 llnexch.j . . 3 = (join‘𝐾)
3 llnexch.m . . 3 = (meet‘𝐾)
4 llnexch.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5 llnexch.n . . 3 𝑁 = (LLines‘𝐾)
61, 2, 3, 4, 5llnexchb2 33967 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))
7 hllat 33462 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
873ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝐾 ∈ Lat)
9 simp21 1087 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑋𝑁)
10 eqid 2610 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1110, 5llnbase 33607 . . . . 5 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
129, 11syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
13 simp22 1088 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑌𝑁)
1410, 5llnbase 33607 . . . . 5 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1610, 1, 3latmle2 16849 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) 𝑌)
178, 12, 15, 16syl3anc 1318 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → (𝑋 𝑌) 𝑌)
18 breq1 4581 . . 3 ((𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍) → ((𝑋 𝑌) 𝑌 ↔ (𝑋 𝑍) 𝑌))
1917, 18syl5ibcom 234 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍) → (𝑋 𝑍) 𝑌))
206, 19sylbid 229 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 → (𝑋 𝑍) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780   class class class wbr 4578  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  lecple 15724  joincjn 16716  meetcmee 16717  Latclat 16817  Atomscatm 33362  HLchlt 33449  LLinesclln 33589
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-iin 4453  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-preset 16700  df-poset 16718  df-plt 16730  df-lub 16746  df-glb 16747  df-join 16748  df-meet 16749  df-p0 16811  df-lat 16818  df-clat 16880  df-oposet 33275  df-ol 33277  df-oml 33278  df-covers 33365  df-ats 33366  df-atl 33397  df-cvlat 33421  df-hlat 33450  df-llines 33596  df-psubsp 33601  df-pmap 33602  df-padd 33894
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator