Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnexchb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnexchb2 33969
Description: Line exchange property (compare cvlatexchb2 33436 for atoms). (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l = (le‘𝐾)
llnexch.j = (join‘𝐾)
llnexch.m = (meet‘𝐾)
llnexch.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexch.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnexchb2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))

Proof of Theorem llnexchb2
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp23 1088 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑍𝑁)
2 simp1 1053 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝐾 ∈ HL)
3 eqid 2609 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 llnexch.n . . . . . 6 𝑁 = (LLines‘𝐾)
53, 4llnbase 33609 . . . . 5 (𝑍𝑁𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
61, 5syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
7 llnexch.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 llnexch.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
93, 7, 8, 4islln3 33610 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑍𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞))))
102, 6, 9syl2anc 690 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → (𝑍𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞))))
111, 10mpbid 220 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞)))
12 simp3r 1082 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑋𝑍)
1312necomd 2836 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑍𝑋)
14 simp11 1083 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝐾 ∈ HL)
15 hllat 33464 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝐾 ∈ Lat)
17 simp2l 1079 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝐴)
183, 8atbase 33390 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
20 simp2r 1080 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑞𝐴)
213, 8atbase 33390 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
23 simp121 1185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑋𝑁)
243, 4llnbase 33609 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
26 llnexch.l . . . . . . . . . . . 12 = (le‘𝐾)
273, 26, 7latjle12 16831 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑝 𝑋𝑞 𝑋) ↔ (𝑝 𝑞) 𝑋))
2816, 19, 22, 25, 27syl13anc 1319 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑋𝑞 𝑋) ↔ (𝑝 𝑞) 𝑋))
29 simp3 1055 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝑞)
307, 8, 4llni2 33612 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝑁)
3114, 17, 20, 29, 30syl31anc 1320 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝑁)
3226, 4llncmp 33622 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 𝑞) ∈ 𝑁𝑋𝑁) → ((𝑝 𝑞) 𝑋 ↔ (𝑝 𝑞) = 𝑋))
3314, 31, 23, 32syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) 𝑋 ↔ (𝑝 𝑞) = 𝑋))
3428, 33bitr2d 267 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) = 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋𝑞 𝑋)))
3534necon3abid 2817 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 ↔ ¬ (𝑝 𝑋𝑞 𝑋)))
36 ianor 507 . . . . . . . 8 (¬ (𝑝 𝑋𝑞 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 𝑋))
3735, 36syl6bb 274 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 ↔ (¬ 𝑝 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 𝑋)))
38 simpl11 1128 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
3923adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑋𝑁)
40 simp122 1186 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑌𝑁)
4140adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑌𝑁)
42 simpl2l 1106 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑝𝐴)
43 simpl2r 1107 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑞𝐴)
44 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → ¬ 𝑝 𝑋)
45 simp13l 1168 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
4645adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
47 llnexch.m . . . . . . . . . . 11 = (meet‘𝐾)
4826, 7, 47, 8, 4llnexchb2lem 33968 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑋) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
4938, 39, 41, 42, 43, 44, 46, 48syl331anc 1342 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
5049ex 448 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (¬ 𝑝 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
51 simpl11 1128 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
5223adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑋𝑁)
5340adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑌𝑁)
54 simpl2r 1107 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑞𝐴)
55 simpl2l 1106 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑝𝐴)
56 simpr 475 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ¬ 𝑞 𝑋)
5745adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
5826, 7, 47, 8, 4llnexchb2lem 33968 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑋) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ((𝑋 𝑌) (𝑞 𝑝) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑞 𝑝))))
5951, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58syl331anc 1342 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑞 𝑝) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑞 𝑝))))
607, 8hlatjcom 33468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
6151, 55, 54, 60syl3anc 1317 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
6261breq2d 4589 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) (𝑞 𝑝)))
6361oveq2d 6543 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑋 (𝑝 𝑞)) = (𝑋 (𝑞 𝑝)))
6463eqeq2d 2619 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑞 𝑝))))
6559, 62, 643bitr4d 298 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
6665ex 448 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (¬ 𝑞 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
6750, 66jaod 393 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((¬ 𝑝 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
6837, 67sylbid 228 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
69 neeq1 2843 . . . . . . 7 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑍𝑋 ↔ (𝑝 𝑞) ≠ 𝑋))
70 breq2 4581 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞)))
71 oveq2 6535 . . . . . . . . 9 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑋 𝑍) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))
7271eqeq2d 2619 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → ((𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
7370, 72bibi12d 333 . . . . . . 7 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)) ↔ ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
7469, 73imbi12d 332 . . . . . 6 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → ((𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍))) ↔ ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))))
7568, 74syl5ibrcom 235 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))))
76753exp 1255 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝𝑞 → (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))))))
7776imp4a 611 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍))))))
7877rexlimdvv 3018 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))))
7911, 13, 78mp2d 46 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 194  wo 381  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wne 2779  wrex 2896   class class class wbr 4577  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  lecple 15721  joincjn 16713  meetcmee 16714  Latclat 16814  Atomscatm 33364  HLchlt 33451  LLinesclln 33591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-iin 4452  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-preset 16697  df-poset 16715  df-plt 16727  df-lub 16743  df-glb 16744  df-join 16745  df-meet 16746  df-p0 16808  df-lat 16815  df-clat 16877  df-oposet 33277  df-ol 33279  df-oml 33280  df-covers 33367  df-ats 33368  df-atl 33399  df-cvlat 33423  df-hlat 33452  df-llines 33598  df-psubsp 33603  df-pmap 33604  df-padd 33896
This theorem is referenced by:  llnexch2N  33970  cdleme20l  34424
  Copyright terms: Public domain W3C validator