Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnexchb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnexchb2 36885
Description: Line exchange property (compare cvlatexchb2 36351 for atoms). (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnexch.l = (le‘𝐾)
llnexch.j = (join‘𝐾)
llnexch.m = (meet‘𝐾)
llnexch.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnexch.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnexchb2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))

Proof of Theorem llnexchb2
Dummy variables 𝑞 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp23 1200 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑍𝑁)
2 simp1 1128 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝐾 ∈ HL)
3 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4 llnexch.n . . . . . 6 𝑁 = (LLines‘𝐾)
53, 4llnbase 36525 . . . . 5 (𝑍𝑁𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
61, 5syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑍 ∈ (Base‘𝐾))
7 llnexch.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
8 llnexch.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
93, 7, 8, 4islln3 36526 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑍 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑍𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞))))
102, 6, 9syl2anc 584 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → (𝑍𝑁 ↔ ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞))))
111, 10mpbid 233 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞)))
12 simp3r 1194 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑋𝑍)
1312necomd 3068 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → 𝑍𝑋)
14 simp11 1195 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝐾 ∈ HL)
1514hllatd 36380 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝐾 ∈ Lat)
16 simp2l 1191 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝐴)
173, 8atbase 36305 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
19 simp2r 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑞𝐴)
203, 8atbase 36305 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞𝐴𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑞 ∈ (Base‘𝐾))
22 simp121 1297 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑋𝑁)
233, 4llnbase 36525 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
2422, 23syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
25 llnexch.l . . . . . . . . . . . 12 = (le‘𝐾)
263, 25, 7latjle12 17660 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑞 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑝 𝑋𝑞 𝑋) ↔ (𝑝 𝑞) 𝑋))
2715, 18, 21, 24, 26syl13anc 1364 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑋𝑞 𝑋) ↔ (𝑝 𝑞) 𝑋))
28 simp3 1130 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑝𝑞)
297, 8, 4llni2 36528 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝑁)
3014, 16, 19, 28, 29syl31anc 1365 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑝 𝑞) ∈ 𝑁)
3125, 4llncmp 36538 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑝 𝑞) ∈ 𝑁𝑋𝑁) → ((𝑝 𝑞) 𝑋 ↔ (𝑝 𝑞) = 𝑋))
3214, 30, 22, 31syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) 𝑋 ↔ (𝑝 𝑞) = 𝑋))
3327, 32bitr2d 281 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) = 𝑋 ↔ (𝑝 𝑋𝑞 𝑋)))
3433necon3abid 3049 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 ↔ ¬ (𝑝 𝑋𝑞 𝑋)))
35 ianor 975 . . . . . . . 8 (¬ (𝑝 𝑋𝑞 𝑋) ↔ (¬ 𝑝 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 𝑋))
3634, 35syl6bb 288 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 ↔ (¬ 𝑝 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 𝑋)))
37 simpl11 1240 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
3822adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑋𝑁)
39 simp122 1298 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → 𝑌𝑁)
4039adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑌𝑁)
41 simpl2l 1218 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑝𝐴)
42 simpl2r 1219 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → 𝑞𝐴)
43 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → ¬ 𝑝 𝑋)
44 simp13l 1280 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
4544adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
46 llnexch.m . . . . . . . . . . 11 = (meet‘𝐾)
4725, 7, 46, 8, 4llnexchb2lem 36884 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴 ∧ ¬ 𝑝 𝑋) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
4837, 38, 40, 41, 42, 43, 45, 47syl331anc 1387 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑝 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
4948ex 413 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (¬ 𝑝 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
50 simpl11 1240 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
5122adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑋𝑁)
5239adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑌𝑁)
53 simpl2r 1219 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑞𝐴)
54 simpl2l 1218 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → 𝑝𝐴)
55 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ¬ 𝑞 𝑋)
5644adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
5725, 7, 46, 8, 4llnexchb2lem 36884 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑞𝐴𝑝𝐴 ∧ ¬ 𝑞 𝑋) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ((𝑋 𝑌) (𝑞 𝑝) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑞 𝑝))))
5850, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57syl331anc 1387 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑞 𝑝) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑞 𝑝))))
597, 8hlatjcom 36384 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
6050, 54, 53, 59syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑝 𝑞) = (𝑞 𝑝))
6160breq2d 5069 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) (𝑞 𝑝)))
6260oveq2d 7161 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → (𝑋 (𝑝 𝑞)) = (𝑋 (𝑞 𝑝)))
6362eqeq2d 2829 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑞 𝑝))))
6458, 61, 633bitr4d 312 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) ∧ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
6564ex 413 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (¬ 𝑞 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
6649, 65jaod 853 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((¬ 𝑝 𝑋 ∨ ¬ 𝑞 𝑋) → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
6736, 66sylbid 241 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
68 neeq1 3075 . . . . . . 7 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑍𝑋 ↔ (𝑝 𝑞) ≠ 𝑋))
69 breq2 5061 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞)))
70 oveq2 7153 . . . . . . . . 9 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑋 𝑍) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))
7170eqeq2d 2829 . . . . . . . 8 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → ((𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))
7269, 71bibi12d 347 . . . . . . 7 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)) ↔ ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞)))))
7368, 72imbi12d 346 . . . . . 6 (𝑍 = (𝑝 𝑞) → ((𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍))) ↔ ((𝑝 𝑞) ≠ 𝑋 → ((𝑋 𝑌) (𝑝 𝑞) ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 (𝑝 𝑞))))))
7467, 73syl5ibrcom 248 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) ∧ (𝑝𝐴𝑞𝐴) ∧ 𝑝𝑞) → (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))))
75743exp 1111 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → (𝑝𝑞 → (𝑍 = (𝑝 𝑞) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))))))
7675imp4a 423 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑝𝐴𝑞𝐴) → ((𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍))))))
7776rexlimdvv 3290 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → (∃𝑝𝐴𝑞𝐴 (𝑝𝑞𝑍 = (𝑝 𝑞)) → (𝑍𝑋 → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))))
7811, 13, 77mp2d 49 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝑁𝑌𝑁𝑍𝑁) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋𝑍)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍 ↔ (𝑋 𝑌) = (𝑋 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 841  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  joincjn 17542  meetcmee 17543  Latclat 17643  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LLinesclln 36507
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812
This theorem is referenced by:  llnexch2N  36886  cdleme20l  37338
  Copyright terms: Public domain W3C validator