Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnmlplnN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnmlplnN 36555
Description: The intersection of a line with a plane not containing it is an atom. (Contributed by NM, 29-Jun-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
llnmlpln.l = (le‘𝐾)
llnmlpln.m = (meet‘𝐾)
llnmlpln.z 0 = (0.‘𝐾)
llnmlpln.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
llnmlpln.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
llnmlpln.p 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnmlplnN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem llnmlplnN
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprl 767 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → ¬ 𝑋 𝑌)
2 simp11 1195 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 36380 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp12 1196 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋𝑁)
5 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 llnmlpln.n . . . . . . . . 9 𝑁 = (LLines‘𝐾)
75, 6llnbase 36525 . . . . . . . 8 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
9 simp13 1197 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌𝑃)
10 llnmlpln.p . . . . . . . . 9 𝑃 = (LPlanes‘𝐾)
115, 10lplnbase 36550 . . . . . . . 8 (𝑌𝑃𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
13 llnmlpln.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
145, 13latmcl 17650 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
153, 8, 12, 14syl3anc 1363 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
16 simp2r 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
17 simp3 1130 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
18 llnmlpln.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
19 llnmlpln.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
20 llnmlpln.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
215, 18, 19, 20, 6llnle 36534 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ((𝑋 𝑌) ≠ 0 ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)) → ∃𝑢𝑁 𝑢 (𝑋 𝑌))
222, 15, 16, 17, 21syl22anc 834 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → ∃𝑢𝑁 𝑢 (𝑋 𝑌))
233adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ Lat)
2415adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
258adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
265, 18, 13latmle1 17674 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
273, 8, 12, 26syl3anc 1363 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
2827adantr 481 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) 𝑋)
295, 6llnbase 36525 . . . . . . . . . 10 (𝑢𝑁𝑢 ∈ (Base‘𝐾))
3029ad2antrl 724 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 ∈ (Base‘𝐾))
31 simprr 769 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 (𝑋 𝑌))
325, 18, 23, 30, 24, 25, 31, 28lattrd 17656 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 𝑋)
33 simpl11 1240 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝐾 ∈ HL)
34 simprl 767 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢𝑁)
35 simpl12 1241 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑋𝑁)
3618, 6llncmp 36538 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑢𝑁𝑋𝑁) → (𝑢 𝑋𝑢 = 𝑋))
3733, 34, 35, 36syl3anc 1363 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑢 𝑋𝑢 = 𝑋))
3832, 37mpbid 233 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑢 = 𝑋)
3938, 31eqbrtrrd 5081 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → 𝑋 (𝑋 𝑌))
405, 18, 23, 24, 25, 28, 39latasymd 17655 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) ∧ (𝑢𝑁𝑢 (𝑋 𝑌))) → (𝑋 𝑌) = 𝑋)
4122, 40rexlimddv 3288 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌) = 𝑋)
425, 18, 13latleeqm1 17677 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
433, 8, 12, 42syl3anc 1363 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → (𝑋 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
4441, 43mpbird 258 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) ∧ ¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴) → 𝑋 𝑌)
45443expia 1113 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (¬ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴𝑋 𝑌))
461, 45mt3d 150 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑃) ∧ (¬ 𝑋 𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  lecple 16560  meetcmee 17543  0.cp0 17635  Latclat 17643  Atomscatm 36279  HLchlt 36366  LLinesclln 36507  LPlanesclpl 36508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-lat 17644  df-clat 17706  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator