Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnn0 34628
Description: A lattice line is nonzero. (Contributed by NM, 15-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
llnn0.z 0 = (0.‘𝐾)
llnn0.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnn0 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋0 )

Proof of Theorem llnn0
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . . . 5 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
21atex 34518 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → (Atoms‘𝐾) ≠ ∅)
3 n0 3929 . . . 4 ((Atoms‘𝐾) ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
42, 3sylib 208 . . 3 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
54adantr 481 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) → ∃𝑝 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
6 eqid 2621 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
7 llnn0.n . . . . 5 𝑁 = (LLines‘𝐾)
86, 1, 7llnnleat 34625 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
983expa 1264 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝)
10 hlop 34475 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
1110ad2antrr 762 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
12 eqid 2621 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1312, 1atbase 34402 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
1413adantl 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
15 llnn0.z . . . . . . 7 0 = (0.‘𝐾)
1612, 6, 15op0le 34299 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑝 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
1711, 14, 16syl2anc 693 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 0 (le‘𝐾)𝑝)
18 breq1 4654 . . . . 5 (𝑋 = 0 → (𝑋(le‘𝐾)𝑝0 (le‘𝐾)𝑝))
1917, 18syl5ibrcom 237 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑋 = 0𝑋(le‘𝐾)𝑝))
2019necon3bd 2807 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑋(le‘𝐾)𝑝𝑋0 ))
219, 20mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋0 )
225, 21exlimddv 1862 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁) → 𝑋0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1482  wex 1703  wcel 1989  wne 2793  c0 3913   class class class wbr 4651  cfv 5886  Basecbs 15851  lecple 15942  0.cp0 17031  OPcops 34285  Atomscatm 34376  HLchlt 34463  LLinesclln 34603
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1721  ax-4 1736  ax-5 1838  ax-6 1887  ax-7 1934  ax-8 1991  ax-9 1998  ax-10 2018  ax-11 2033  ax-12 2046  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4769  ax-sep 4779  ax-nul 4787  ax-pow 4841  ax-pr 4904  ax-un 6946
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1485  df-ex 1704  df-nf 1709  df-sb 1880  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2752  df-ne 2794  df-ral 2916  df-rex 2917  df-reu 2918  df-rab 2920  df-v 3200  df-sbc 3434  df-csb 3532  df-dif 3575  df-un 3577  df-in 3579  df-ss 3586  df-nul 3914  df-if 4085  df-pw 4158  df-sn 4176  df-pr 4178  df-op 4182  df-uni 4435  df-iun 4520  df-br 4652  df-opab 4711  df-mpt 4728  df-id 5022  df-xp 5118  df-rel 5119  df-cnv 5120  df-co 5121  df-dm 5122  df-rn 5123  df-res 5124  df-ima 5125  df-iota 5849  df-fun 5888  df-fn 5889  df-f 5890  df-f1 5891  df-fo 5892  df-f1o 5893  df-fv 5894  df-riota 6608  df-ov 6650  df-oprab 6651  df-preset 16922  df-poset 16940  df-plt 16952  df-lub 16968  df-glb 16969  df-join 16970  df-meet 16971  df-p0 17033  df-p1 17034  df-lat 17040  df-clat 17102  df-oposet 34289  df-ol 34291  df-oml 34292  df-covers 34379  df-ats 34380  df-atl 34411  df-cvlat 34435  df-hlat 34464  df-llines 34610
This theorem is referenced by:  2llnm3N  34681  cdleme22b  35455
  Copyright terms: Public domain W3C validator