Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmat22det Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmat22det 29667
Description: The determinant of a literal 2x2 complex matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmat22.m 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a (𝜑𝐴𝑉)
lmat22.b (𝜑𝐵𝑉)
lmat22.c (𝜑𝐶𝑉)
lmat22.d (𝜑𝐷𝑉)
lmat22det.t · = (.r𝑅)
lmat22det.s = (-g𝑅)
lmat22det.v 𝑉 = (Base‘𝑅)
lmat22det.j 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
lmat22det.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
Assertion
Ref Expression
lmat22det (𝜑 → (𝐽𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) (𝐶 · 𝐵)))

Proof of Theorem lmat22det
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmat22det.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
2 lmat22.m . . . 4 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
3 2nn 11129 . . . . 5 2 ∈ ℕ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
5 lmat22.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
6 lmat22.b . . . . . 6 (𝜑𝐵𝑉)
75, 6s2cld 13552 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
8 lmat22.c . . . . . 6 (𝜑𝐶𝑉)
9 lmat22.d . . . . . 6 (𝜑𝐷𝑉)
108, 9s2cld 13552 . . . . 5 (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
117, 10s2cld 13552 . . . 4 (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
12 s2len 13570 . . . . 5 (#‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
1312a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (#‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
142, 5, 6, 8, 9lmat22lem 29662 . . . 4 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^2)) → (#‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
15 lmat22det.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑅)
16 eqid 2621 . . . 4 ((1...2) Mat 𝑅) = ((1...2) Mat 𝑅)
17 eqid 2621 . . . 4 (Base‘((1...2) Mat 𝑅)) = (Base‘((1...2) Mat 𝑅))
182, 4, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 1lmatcl 29661 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅)))
19 2z 11353 . . . . . 6 2 ∈ ℤ
20 fzval3 12477 . . . . . 6 (2 ∈ ℤ → (1...2) = (1..^(2 + 1)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . 5 (1...2) = (1..^(2 + 1))
22 2p1e3 11095 . . . . . 6 (2 + 1) = 3
2322oveq2i 6615 . . . . 5 (1..^(2 + 1)) = (1..^3)
24 fzo13pr 12493 . . . . 5 (1..^3) = {1, 2}
2521, 23, 243eqtri 2647 . . . 4 (1...2) = {1, 2}
26 lmat22det.j . . . 4 𝐽 = ((1...2) maDet 𝑅)
27 lmat22det.s . . . 4 = (-g𝑅)
28 lmat22det.t . . . 4 · = (.r𝑅)
2925, 26, 16, 17, 27, 28m2detleib 20356 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ (Base‘((1...2) Mat 𝑅))) → (𝐽𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
301, 18, 29syl2anc 692 . 2 (𝜑 → (𝐽𝑀) = (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))))
312, 5, 6, 8, 9lmat22e11 29663 . . . 4 (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)
322, 5, 6, 8, 9lmat22e22 29666 . . . 4 (𝜑 → (2𝑀2) = 𝐷)
3331, 32oveq12d 6622 . . 3 (𝜑 → ((1𝑀1) · (2𝑀2)) = (𝐴 · 𝐷))
342, 5, 6, 8, 9lmat22e21 29665 . . . 4 (𝜑 → (2𝑀1) = 𝐶)
352, 5, 6, 8, 9lmat22e12 29664 . . . 4 (𝜑 → (1𝑀2) = 𝐵)
3634, 35oveq12d 6622 . . 3 (𝜑 → ((2𝑀1) · (1𝑀2)) = (𝐶 · 𝐵))
3733, 36oveq12d 6622 . 2 (𝜑 → (((1𝑀1) · (2𝑀2)) ((2𝑀1) · (1𝑀2))) = ((𝐴 · 𝐷) (𝐶 · 𝐵)))
3830, 37eqtrd 2655 1 (𝜑 → (𝐽𝑀) = ((𝐴 · 𝐷) (𝐶 · 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  {cpr 4150  cfv 5847  (class class class)co 6604  1c1 9881   + caddc 9883  cn 10964  2c2 11014  3c3 11015  cz 11321  ...cfz 12268  ..^cfzo 12406  #chash 13057  Word cword 13230  ⟨“cs2 13523  Basecbs 15781  .rcmulr 15863  -gcsg 17345  Ringcrg 18468   Mat cmat 20132   maDet cmdat 20309  litMatclmat 29656
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-inf2 8482  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-addf 9959  ax-mulf 9960
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-xor 1462  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-ot 4157  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-se 5034  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-isom 5856  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-of 6850  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-supp 7241  df-tpos 7297  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-2o 7506  df-oadd 7509  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-ixp 7853  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-fsupp 8220  df-sup 8292  df-oi 8359  df-card 8709  df-cda 8934  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-7 11028  df-8 11029  df-9 11030  df-n0 11237  df-xnn0 11308  df-z 11322  df-dec 11438  df-uz 11632  df-rp 11777  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-seq 12742  df-exp 12801  df-fac 13001  df-bc 13030  df-hash 13058  df-word 13238  df-lsw 13239  df-concat 13240  df-s1 13241  df-substr 13242  df-splice 13243  df-reverse 13244  df-s2 13530  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-ress 15788  df-plusg 15875  df-mulr 15876  df-starv 15877  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-ip 15880  df-tset 15881  df-ple 15882  df-ds 15885  df-unif 15886  df-hom 15887  df-cco 15888  df-0g 16023  df-gsum 16024  df-prds 16029  df-pws 16031  df-mre 16167  df-mrc 16168  df-acs 16170  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mhm 17256  df-submnd 17257  df-grp 17346  df-minusg 17347  df-sbg 17348  df-mulg 17462  df-subg 17512  df-ghm 17579  df-gim 17622  df-cntz 17671  df-oppg 17697  df-symg 17719  df-pmtr 17783  df-psgn 17832  df-cmn 18116  df-abl 18117  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470  df-cring 18471  df-rnghom 18636  df-subrg 18699  df-sra 19091  df-rgmod 19092  df-cnfld 19666  df-zring 19738  df-zrh 19771  df-dsmm 19995  df-frlm 20010  df-mat 20133  df-mdet 20310  df-lmat 29657
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator