Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmat22e11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmat22e11 29666
Description: Entry of a 2x2 literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmat22.m 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a (𝜑𝐴𝑉)
lmat22.b (𝜑𝐵𝑉)
lmat22.c (𝜑𝐶𝑉)
lmat22.d (𝜑𝐷𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmat22e11 (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)

Proof of Theorem lmat22e11
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmat22.m . . 3 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
2 2nn 11129 . . . 4 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . . 3 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4 lmat22.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
5 lmat22.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑉)
64, 5s2cld 13552 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
7 lmat22.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑉)
8 lmat22.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑉)
97, 8s2cld 13552 . . . 4 (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
106, 9s2cld 13552 . . 3 (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
11 s2len 13570 . . . 4 (#‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
1211a1i 11 . . 3 (𝜑 → (#‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
131, 4, 5, 7, 8lmat22lem 29665 . . 3 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^2)) → (#‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
14 2eluzge1 11678 . . . . 5 2 ∈ (ℤ‘1)
15 eluzfz1 12290 . . . . 5 (2 ∈ (ℤ‘1) → 1 ∈ (1...2))
1614, 15ax-mp 5 . . . 4 1 ∈ (1...2)
1716a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ (1...2))
181, 3, 10, 12, 13, 17, 17lmatfval 29662 . 2 (𝜑 → (1𝑀1) = ((⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1))‘(1 − 1)))
19 1m1e0 11033 . . . . 5 (1 − 1) = 0
2019fveq2i 6151 . . . 4 (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1)) = (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0)
21 s2fv0 13568 . . . . 5 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
226, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
2320, 22syl5eq 2667 . . 3 (𝜑 → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1)) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
2419a1i 11 . . 3 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
2523, 24fveq12d 6154 . 2 (𝜑 → ((⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘(1 − 1))‘(1 − 1)) = (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0))
26 s2fv0 13568 . . 3 (𝐴𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0) = 𝐴)
274, 26syl 17 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘0) = 𝐴)
2818, 25, 273eqtrd 2659 1 (𝜑 → (1𝑀1) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5847  (class class class)co 6604  0cc0 9880  1c1 9881  cmin 10210  cn 10964  2c2 11014  cuz 11631  ...cfz 12268  #chash 13057  Word cword 13230  ⟨“cs2 13523  litMatclmat 29659
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-card 8709  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-fzo 12407  df-hash 13058  df-word 13238  df-concat 13240  df-s1 13241  df-s2 13530  df-lmat 29660
This theorem is referenced by:  lmat22det  29670
  Copyright terms: Public domain W3C validator