Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmat22e12 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmat22e12 29659
Description: Entry of a 2x2 literal matrix. (Contributed by Thierry Arnoux, 12-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
lmat22.m 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
lmat22.a (𝜑𝐴𝑉)
lmat22.b (𝜑𝐵𝑉)
lmat22.c (𝜑𝐶𝑉)
lmat22.d (𝜑𝐷𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmat22e12 (𝜑 → (1𝑀2) = 𝐵)

Proof of Theorem lmat22e12
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmat22.m . 2 𝑀 = (litMat‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩)
2 2nn 11130 . . 3 2 ∈ ℕ
32a1i 11 . 2 (𝜑 → 2 ∈ ℕ)
4 lmat22.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
5 lmat22.b . . . 4 (𝜑𝐵𝑉)
64, 5s2cld 13547 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word 𝑉)
7 lmat22.c . . . 4 (𝜑𝐶𝑉)
8 lmat22.d . . . 4 (𝜑𝐷𝑉)
97, 8s2cld 13547 . . 3 (𝜑 → ⟨“𝐶𝐷”⟩ ∈ Word 𝑉)
106, 9s2cld 13547 . 2 (𝜑 → ⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩ ∈ Word Word 𝑉)
11 s2len 13565 . . 3 (#‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2
1211a1i 11 . 2 (𝜑 → (#‘⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩) = 2)
131, 4, 5, 7, 8lmat22lem 29657 . 2 ((𝜑𝑖 ∈ (0..^2)) → (#‘(⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘𝑖)) = 2)
14 0nn0 11252 . 2 0 ∈ ℕ0
15 1nn0 11253 . 2 1 ∈ ℕ0
16 1le2 11186 . 2 1 ≤ 2
172nnrei 10974 . . 3 2 ∈ ℝ
1817leidi 10507 . 2 2 ≤ 2
19 0p1e1 11077 . 2 (0 + 1) = 1
20 1p1e2 11079 . 2 (1 + 1) = 2
21 s2cli 13556 . . 3 ⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word V
22 s2fv0 13563 . . 3 (⟨“𝐴𝐵”⟩ ∈ Word V → (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩)
2321, 22ax-mp 5 . 2 (⟨“⟨“𝐴𝐵”⟩⟨“𝐶𝐷”⟩”⟩‘0) = ⟨“𝐴𝐵”⟩
24 s2fv1 13564 . . 3 (𝐵𝑉 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
255, 24syl 17 . 2 (𝜑 → (⟨“𝐴𝐵”⟩‘1) = 𝐵)
261, 3, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 23, 25lmatfvlem 29655 1 (𝜑 → (1𝑀2) = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1480  wcel 1992  Vcvv 3191  cfv 5850  (class class class)co 6605  0cc0 9881  1c1 9882  cn 10965  2c2 11015  #chash 13054  Word cword 13225  ⟨“cs2 13518  litMatclmat 29651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1841  ax-6 1890  ax-7 1937  ax-8 1994  ax-9 2001  ax-10 2021  ax-11 2036  ax-12 2049  ax-13 2250  ax-ext 2606  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6903  ax-cnex 9937  ax-resscn 9938  ax-1cn 9939  ax-icn 9940  ax-addcl 9941  ax-addrcl 9942  ax-mulcl 9943  ax-mulrcl 9944  ax-mulcom 9945  ax-addass 9946  ax-mulass 9947  ax-distr 9948  ax-i2m1 9949  ax-1ne0 9950  ax-1rid 9951  ax-rnegex 9952  ax-rrecex 9953  ax-cnre 9954  ax-pre-lttri 9955  ax-pre-lttrn 9956  ax-pre-ltadd 9957  ax-pre-mulgt0 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1883  df-eu 2478  df-mo 2479  df-clab 2613  df-cleq 2619  df-clel 2622  df-nfc 2756  df-ne 2797  df-nel 2900  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3193  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5642  df-ord 5688  df-on 5689  df-lim 5690  df-suc 5691  df-iota 5813  df-fun 5852  df-fn 5853  df-f 5854  df-f1 5855  df-fo 5856  df-f1o 5857  df-fv 5858  df-riota 6566  df-ov 6608  df-oprab 6609  df-mpt2 6610  df-om 7014  df-1st 7116  df-2nd 7117  df-wrecs 7353  df-recs 7414  df-rdg 7452  df-1o 7506  df-oadd 7510  df-er 7688  df-en 7901  df-dom 7902  df-sdom 7903  df-fin 7904  df-card 8710  df-pnf 10021  df-mnf 10022  df-xr 10023  df-ltxr 10024  df-le 10025  df-sub 10213  df-neg 10214  df-nn 10966  df-2 11024  df-n0 11238  df-z 11323  df-uz 11632  df-fz 12266  df-fzo 12404  df-hash 13055  df-word 13233  df-concat 13235  df-s1 13236  df-s2 13525  df-lmat 29652
This theorem is referenced by:  lmat22det  29662
  Copyright terms: Public domain W3C validator