Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmbr3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmbr3 40474
Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr3.1 𝑘𝐹
lmbr3.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
Assertion
Ref Expression
lmbr3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝐹,𝑢   𝑢,𝐽   𝑢,𝑃   𝑗,𝑘,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑗,𝑘)   𝑃(𝑗,𝑘)   𝐹(𝑘)   𝐽(𝑗,𝑘)   𝑋(𝑢,𝑗,𝑘)

Proof of Theorem lmbr3
Dummy variables 𝑖 𝑙 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmbr3.2 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
21lmbr3v 40472 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑙) ∈ 𝑣)))))
3 eleq2w 2815 . . . . 5 (𝑣 = 𝑢 → (𝑃𝑣𝑃𝑢))
4 eleq2w 2815 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑢 → ((𝐹𝑙) ∈ 𝑣 ↔ (𝐹𝑙) ∈ 𝑢))
54anbi2d 742 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑢 → ((𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑙) ∈ 𝑣) ↔ (𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑙) ∈ 𝑢)))
65rexralbidv 3188 . . . . . 6 (𝑣 = 𝑢 → (∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑙) ∈ 𝑣) ↔ ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑙) ∈ 𝑢)))
7 fveq2 6344 . . . . . . . . 9 (𝑖 = 𝑗 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝑗))
87raleqdv 3275 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑙) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑙) ∈ 𝑢)))
9 nfcv 2894 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑙
10 lmbr3.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝐹
1110nfdm 5514 . . . . . . . . . . 11 𝑘dom 𝐹
129, 11nfel 2907 . . . . . . . . . 10 𝑘 𝑙 ∈ dom 𝐹
1310, 9nffv 6351 . . . . . . . . . . 11 𝑘(𝐹𝑙)
14 nfcv 2894 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑢
1513, 14nfel 2907 . . . . . . . . . 10 𝑘(𝐹𝑙) ∈ 𝑢
1612, 15nfan 1969 . . . . . . . . 9 𝑘(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑙) ∈ 𝑢)
17 nfv 1984 . . . . . . . . 9 𝑙(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)
18 eleq1w 2814 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → (𝑙 ∈ dom 𝐹𝑘 ∈ dom 𝐹))
19 fveq2 6344 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑘 → (𝐹𝑙) = (𝐹𝑘))
2019eleq1d 2816 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑘 → ((𝐹𝑙) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
2118, 20anbi12d 749 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑘 → ((𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑙) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2216, 17, 21cbvral 3298 . . . . . . . 8 (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑗)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑙) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
238, 22syl6bb 276 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → (∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑙) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2423cbvrexv 3303 . . . . . 6 (∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑙) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
256, 24syl6bb 276 . . . . 5 (𝑣 = 𝑢 → (∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑙) ∈ 𝑣) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
263, 25imbi12d 333 . . . 4 (𝑣 = 𝑢 → ((𝑃𝑣 → ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑙) ∈ 𝑣)) ↔ (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
2726cbvralv 3302 . . 3 (∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑙) ∈ 𝑣)) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
28273anbi3i 1162 . 2 ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑖 ∈ ℤ ∀𝑙 ∈ (ℤ𝑖)(𝑙 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑙) ∈ 𝑣))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
292, 28syl6bb 276 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℤ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2131  wnfc 2881  wral 3042  wrex 3043   class class class wbr 4796  dom cdm 5258  cfv 6041  (class class class)co 6805  pm cpm 8016  cc 10118  cz 11561  cuz 11871  TopOnctopon 20909  𝑡clm 21224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-er 7903  df-pm 8018  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-neg 10453  df-z 11562  df-uz 11872  df-top 20893  df-topon 20910  df-lm 21227
This theorem is referenced by:  xlimbr  40548  xlimmnfvlem1  40553  xlimmnfvlem2  40554  xlimpnfvlem1  40557  xlimpnfvlem2  40558
  Copyright terms: Public domain W3C validator