MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmbrf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmbrf 20813
Description: Express the binary relation "sequence 𝐹 converges to point 𝑃 " in a metric space using an arbitrary upper set of integers. This version of lmbr2 20812 presupposes that 𝐹 is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmbr.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmbr2.4 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmbr2.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmbrf.6 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
lmbrf.7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
Assertion
Ref Expression
lmbrf (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝑢,𝐹   𝑗,𝐽,𝑘,𝑢   𝜑,𝑗,𝑘,𝑢   𝑗,𝑍,𝑘,𝑢   𝑗,𝑀   𝑃,𝑗,𝑘,𝑢   𝑗,𝑋,𝑘,𝑢
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑢,𝑗,𝑘)   𝑀(𝑢,𝑘)

Proof of Theorem lmbrf
StepHypRef Expression
1 lmbr.2 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 lmbr2.4 . . 3 𝑍 = (ℤ𝑀)
3 lmbr2.5 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
41, 2, 3lmbr2 20812 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
5 3anass 1034 . . 3 ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
62uztrn2 11534 . . . . . . . . . . 11 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
7 lmbrf.7 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = 𝐴)
87eleq1d 2668 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑢𝐴𝑢))
9 lmbrf.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
10 fdm 5947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹:𝑍𝑋 → dom 𝐹 = 𝑍)
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝑍)
1211eleq2d 2669 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑘 ∈ dom 𝐹𝑘𝑍))
1312biimpar 500 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
1413biantrurd 527 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘𝑍) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
158, 14bitr3d 268 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐴𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
166, 15sylan2 489 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → (𝐴𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
1716anassrs 677 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑗𝑍) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐴𝑢 ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
1817ralbidva 2964 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗𝑍) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
1918rexbidva 3027 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2019imbi2d 328 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢) ↔ (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
2120ralbidv 2965 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
2221anbi2d 735 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢)) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
23 toponmax 20482 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
241, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝐽)
25 cnex 9870 . . . . . . 7 ℂ ∈ V
2624, 25jctir 558 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋𝐽 ∧ ℂ ∈ V))
27 uzssz 11536 . . . . . . . . 9 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
28 zsscn 11215 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℂ
2927, 28sstri 3573 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
302, 29eqsstri 3594 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℂ
319, 30jctir 558 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ))
32 elpm2r 7735 . . . . . 6 (((𝑋𝐽 ∧ ℂ ∈ V) ∧ (𝐹:𝑍𝑋𝑍 ⊆ ℂ)) → 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
3326, 31, 32syl2anc 690 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
3433biantrurd 527 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))))
3522, 34bitr2d 267 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢))))
365, 35syl5bb 270 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢))))
374, 36bitrd 266 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)𝐴𝑢))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  wral 2892  wrex 2893  Vcvv 3169  wss 3536   class class class wbr 4574  dom cdm 5025  wf 5783  cfv 5787  (class class class)co 6524  pm cpm 7719  cc 9787  cz 11207  cuz 11516  TopOnctopon 20457  𝑡clm 20779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-er 7603  df-pm 7721  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-neg 10117  df-z 11208  df-uz 11517  df-top 20460  df-topon 20462  df-lm 20782
This theorem is referenced by:  lmconst  20814  lmss  20851  1stcelcls  21013  txlm  21200  lmflf  21558  lmxrge0  29129
  Copyright terms: Public domain W3C validator