Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmclim2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmclim2 33183
Description: A sequence in a metric space converges to a point iff the distance between the point and the elements of the sequence converges to 0. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmclim2.2 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
lmclim2.3 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmclim2.4 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmclim2.5 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)𝐷𝑌))
lmclim2.6 (𝜑𝑌𝑋)
Assertion
Ref Expression
lmclim2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑌𝐺 ⇝ 0))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝐽   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥   𝑥,𝑌

Proof of Theorem lmclim2
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmclim2.4 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
2 lmclim2.2 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
3 metxmet 22049 . . . 4 (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
5 nnuz 11667 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
6 1zzd 11352 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
7 eqidd 2622 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
8 lmclim2.3 . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
91, 4, 5, 6, 7, 8lmmbrf 22968 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑌 ↔ (𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥)))
10 lmclim2.5 . . . . . 6 𝐺 = (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)𝐷𝑌))
11 nnex 10970 . . . . . . 7 ℕ ∈ V
1211mptex 6440 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ ↦ ((𝐹𝑥)𝐷𝑌)) ∈ V
1310, 12eqeltri 2694 . . . . 5 𝐺 ∈ V
1413a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ V)
15 fveq2 6148 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑘))
1615oveq1d 6619 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑘 → ((𝐹𝑥)𝐷𝑌) = ((𝐹𝑘)𝐷𝑌))
17 ovex 6632 . . . . . 6 ((𝐹𝑘)𝐷𝑌) ∈ V
1816, 10, 17fvmpt 6239 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘)𝐷𝑌))
1918adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐺𝑘) = ((𝐹𝑘)𝐷𝑌))
202adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝐷 ∈ (Met‘𝑋))
218ffvelrnda 6315 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
22 lmclim2.6 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑋)
2322adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 𝑌𝑋)
24 metcl 22047 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑌𝑋) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℝ)
2520, 21, 23, 24syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℝ)
2625recnd 10012 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹𝑘)𝐷𝑌) ∈ ℂ)
275, 6, 14, 19, 26clim0c 14172 . . 3 (𝜑 → (𝐺 ⇝ 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥))
28 eluznn 11702 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ ℕ)
29 metge0 22060 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑋𝑌𝑋) → 0 ≤ ((𝐹𝑘)𝐷𝑌))
3020, 21, 23, 29syl3anc 1323 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → 0 ≤ ((𝐹𝑘)𝐷𝑌))
3125, 30absidd 14095 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → (abs‘((𝐹𝑘)𝐷𝑌)) = ((𝐹𝑘)𝐷𝑌))
3231breq1d 4623 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ) → ((abs‘((𝐹𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
3328, 32sylan2 491 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗))) → ((abs‘((𝐹𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
3433anassrs 679 . . . . . 6 (((𝜑𝑗 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((abs‘((𝐹𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ((𝐹𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
3534ralbidva 2979 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ ℕ) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
3635rexbidva 3042 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
3736ralbidv 2980 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(abs‘((𝐹𝑘)𝐷𝑌)) < 𝑥 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥))
3822biantrurd 529 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥 ↔ (𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥)))
3927, 37, 383bitrrd 295 . 2 (𝜑 → ((𝑌𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)((𝐹𝑘)𝐷𝑌) < 𝑥) ↔ 𝐺 ⇝ 0))
409, 39bitrd 268 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑌𝐺 ⇝ 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  Vcvv 3186   class class class wbr 4613  cmpt 4673  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cr 9879  0cc0 9880  1c1 9881   < clt 10018  cle 10019  cn 10964  cuz 11631  +crp 11776  abscabs 13908  cli 14149  ∞Metcxmt 19650  Metcme 19651  MetOpencmopn 19655  𝑡clm 20940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-seq 12742  df-exp 12801  df-cj 13773  df-re 13774  df-im 13775  df-sqrt 13909  df-abs 13910  df-clim 14153  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-met 19659  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-lm 20943
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator