MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcn2 21433
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 15-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
txlm.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
txlm.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
txlm.j (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
txlm.k (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
txlm.f (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
txlm.g (𝜑𝐺:𝑍𝑌)
lmcn2.fl (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑅)
lmcn2.gl (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐾)𝑆)
lmcn2.o (𝜑𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
lmcn2.h 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)))
Assertion
Ref Expression
lmcn2 (𝜑𝐻(⇝𝑡𝑁)(𝑅𝑂𝑆))
Distinct variable groups:   𝑛,𝐹   𝑛,𝑂   𝜑,𝑛   𝑛,𝐺   𝑛,𝐽   𝑛,𝐾   𝑛,𝑋   𝑛,𝑌   𝑛,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑛)   𝑆(𝑛)   𝐻(𝑛)   𝑀(𝑛)   𝑁(𝑛)

Proof of Theorem lmcn2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 txlm.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:𝑍𝑋)
21ffvelrnda 6345 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐹𝑛) ∈ 𝑋)
3 txlm.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺:𝑍𝑌)
43ffvelrnda 6345 . . . . . 6 ((𝜑𝑛𝑍) → (𝐺𝑛) ∈ 𝑌)
5 opelxpi 5138 . . . . . 6 (((𝐹𝑛) ∈ 𝑋 ∧ (𝐺𝑛) ∈ 𝑌) → ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
62, 4, 5syl2anc 692 . . . . 5 ((𝜑𝑛𝑍) → ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
7 eqidd 2621 . . . . 5 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩) = (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩))
8 txlm.j . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
9 txlm.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌))
10 txtopon 21375 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝑌)) → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
118, 9, 10syl2anc 692 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
12 lmcn2.o . . . . . . . . 9 (𝜑𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁))
13 cntop2 21026 . . . . . . . . 9 (𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁) → 𝑁 ∈ Top)
1412, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ Top)
15 eqid 2620 . . . . . . . . 9 𝑁 = 𝑁
1615toptopon 20703 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Top ↔ 𝑁 ∈ (TopOn‘ 𝑁))
1714, 16sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ (TopOn‘ 𝑁))
18 cnf2 21034 . . . . . . 7 (((𝐽 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝑁 ∈ (TopOn‘ 𝑁) ∧ 𝑂 ∈ ((𝐽 ×t 𝐾) Cn 𝑁)) → 𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶ 𝑁)
1911, 17, 12, 18syl3anc 1324 . . . . . 6 (𝜑𝑂:(𝑋 × 𝑌)⟶ 𝑁)
2019feqmptd 6236 . . . . 5 (𝜑𝑂 = (𝑥 ∈ (𝑋 × 𝑌) ↦ (𝑂𝑥)))
21 fveq2 6178 . . . . . 6 (𝑥 = ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ → (𝑂𝑥) = (𝑂‘⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩))
22 df-ov 6638 . . . . . 6 ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)) = (𝑂‘⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)
2321, 22syl6eqr 2672 . . . . 5 (𝑥 = ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩ → (𝑂𝑥) = ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)))
246, 7, 20, 23fmptco 6382 . . . 4 (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)) = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛))))
25 lmcn2.h . . . 4 𝐻 = (𝑛𝑍 ↦ ((𝐹𝑛)𝑂(𝐺𝑛)))
2624, 25syl6eqr 2672 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)) = 𝐻)
27 lmcn2.fl . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑅)
28 lmcn2.gl . . . . 5 (𝜑𝐺(⇝𝑡𝐾)𝑆)
29 txlm.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ𝑀)
30 txlm.m . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
31 eqid 2620 . . . . . 6 (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩) = (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)
3229, 30, 8, 9, 1, 3, 31txlm 21432 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑅𝐺(⇝𝑡𝐾)𝑆) ↔ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩))
3327, 28, 32mpbi2and 955 . . . 4 (𝜑 → (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩)(⇝𝑡‘(𝐽 ×t 𝐾))⟨𝑅, 𝑆⟩)
3433, 12lmcn 21090 . . 3 (𝜑 → (𝑂 ∘ (𝑛𝑍 ↦ ⟨(𝐹𝑛), (𝐺𝑛)⟩))(⇝𝑡𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
3526, 34eqbrtrrd 4668 . 2 (𝜑𝐻(⇝𝑡𝑁)(𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩))
36 df-ov 6638 . 2 (𝑅𝑂𝑆) = (𝑂‘⟨𝑅, 𝑆⟩)
3735, 36syl6breqr 4686 1 (𝜑𝐻(⇝𝑡𝑁)(𝑅𝑂𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1481  wcel 1988  cop 4174   cuni 4427   class class class wbr 4644  cmpt 4720   × cxp 5102  ccom 5108  wf 5872  cfv 5876  (class class class)co 6635  cz 11362  cuz 11672  Topctop 20679  TopOnctopon 20696   Cn ccn 21009  𝑡clm 21011   ×t ctx 21344
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-map 7844  df-pm 7845  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-z 11363  df-uz 11673  df-topgen 16085  df-top 20680  df-topon 20697  df-bases 20731  df-cn 21012  df-cnp 21013  df-lm 21014  df-tx 21346
This theorem is referenced by:  hlimadd  28020
  Copyright terms: Public domain W3C validator