Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcnp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcnp 21156
 Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. (Contributed by Mario Carneiro, 3-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcnp.3 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
lmcnp.4 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
Assertion
Ref Expression
lmcnp (𝜑 → (𝐺𝐹)(⇝𝑡𝐾)(𝐺𝑃))

Proof of Theorem lmcnp
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcnp.4 . . . . . 6 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃))
2 eqid 2651 . . . . . . 7 𝐽 = 𝐽
3 eqid 2651 . . . . . . 7 𝐾 = 𝐾
42, 3cnpf 21099 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐺: 𝐽 𝐾)
51, 4syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐺: 𝐽 𝐾)
6 lmcnp.3 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
7 cnptop1 21094 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐽 ∈ Top)
81, 7syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ Top)
92toptopon 20770 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
108, 9sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
11 nnuz 11761 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
12 1zzd 11446 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
1310, 11, 12lmbr2 21111 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ∧ 𝑃 𝐽 ∧ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)))))
146, 13mpbid 222 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ∧ 𝑃 𝐽 ∧ ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣))))
1514simp1d 1093 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ))
16 uniexg 6997 . . . . . . . . 9 (𝐽 ∈ Top → 𝐽 ∈ V)
178, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 𝐽 ∈ V)
18 cnex 10055 . . . . . . . 8 ℂ ∈ V
19 elpm2g 7916 . . . . . . . 8 (( 𝐽 ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
2017, 18, 19sylancl 695 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ↔ (𝐹:dom 𝐹 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ)))
2115, 20mpbid 222 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹 𝐽 ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ))
2221simpld 474 . . . . 5 (𝜑𝐹:dom 𝐹 𝐽)
23 fco 6096 . . . . 5 ((𝐺: 𝐽 𝐾𝐹:dom 𝐹 𝐽) → (𝐺𝐹):dom 𝐹 𝐾)
245, 22, 23syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝐹):dom 𝐹 𝐾)
25 fdm 6089 . . . . . 6 ((𝐺𝐹):dom 𝐹 𝐾 → dom (𝐺𝐹) = dom 𝐹)
2624, 25syl 17 . . . . 5 (𝜑 → dom (𝐺𝐹) = dom 𝐹)
2726feq2d 6069 . . . 4 (𝜑 → ((𝐺𝐹):dom (𝐺𝐹)⟶ 𝐾 ↔ (𝐺𝐹):dom 𝐹 𝐾))
2824, 27mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐹):dom (𝐺𝐹)⟶ 𝐾)
2921simprd 478 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
3026, 29eqsstrd 3672 . . 3 (𝜑 → dom (𝐺𝐹) ⊆ ℂ)
31 cnptop2 21095 . . . . . 6 (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) → 𝐾 ∈ Top)
321, 31syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ Top)
33 uniexg 6997 . . . . 5 (𝐾 ∈ Top → 𝐾 ∈ V)
3432, 33syl 17 . . . 4 (𝜑 𝐾 ∈ V)
35 elpm2g 7916 . . . 4 (( 𝐾 ∈ V ∧ ℂ ∈ V) → ((𝐺𝐹) ∈ ( 𝐾pm ℂ) ↔ ((𝐺𝐹):dom (𝐺𝐹)⟶ 𝐾 ∧ dom (𝐺𝐹) ⊆ ℂ)))
3634, 18, 35sylancl 695 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝐹) ∈ ( 𝐾pm ℂ) ↔ ((𝐺𝐹):dom (𝐺𝐹)⟶ 𝐾 ∧ dom (𝐺𝐹) ⊆ ℂ)))
3728, 30, 36mpbir2and 977 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐹) ∈ ( 𝐾pm ℂ))
3814simp2d 1094 . . 3 (𝜑𝑃 𝐽)
395, 38ffvelrnd 6400 . 2 (𝜑 → (𝐺𝑃) ∈ 𝐾)
4014simp3d 1095 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)))
4140adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)))
42 cnpimaex 21108 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ 𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
43423expb 1285 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝑃) ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
441, 43sylan 487 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
45 r19.29 3101 . . . . . . 7 ((∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 ((𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
46 pm3.45 897 . . . . . . . . 9 ((𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) → ((𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)))
4746imp 444 . . . . . . . 8 (((𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
4847reximi 3040 . . . . . . 7 (∃𝑣𝐽 ((𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
4945, 48syl 17 . . . . . 6 ((∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑣𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢))
505ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝐺: 𝐽 𝐾)
51 ffn 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺: 𝐽 𝐾𝐺 Fn 𝐽)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝐺 Fn 𝐽)
53 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑣𝐽)
54 elssuni 4499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣𝐽𝑣 𝐽)
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑣 𝐽)
56 fnfvima 6536 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐺 Fn 𝐽𝑣 𝐽 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ (𝐺𝑣))
57563expia 1286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 Fn 𝐽𝑣 𝐽) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ (𝐺𝑣)))
5852, 55, 57syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ (𝐺𝑣)))
5922ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → 𝐹:dom 𝐹 𝐽)
60 fvco3 6314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹:dom 𝐹 𝐽𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
6159, 60sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) = (𝐺‘(𝐹𝑘)))
6261eleq1d 2715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺𝑣) ↔ (𝐺‘(𝐹𝑘)) ∈ (𝐺𝑣)))
6358, 62sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺𝑣)))
64 simplrr 818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)
6564sseld 3635 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → (((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ (𝐺𝑣) → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
6663, 65syld 47 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
67 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑘 ∈ dom 𝐹)
6826ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → dom (𝐺𝐹) = dom 𝐹)
6967, 68eleqtrrd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → 𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹))
7066, 69jctild 565 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑣 → (𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7170expimpd 628 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → (𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7271ralimdv 2992 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7372reximdv 3045 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7473expr 642 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))))
7574com23 86 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) → ((𝐺𝑣) ⊆ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))))
7675impd 446 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) ∧ 𝑣𝐽) → ((∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7776rexlimdva 3060 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → (∃𝑣𝐽 (∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣) ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7849, 77syl5 34 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ((∀𝑣𝐽 (𝑃𝑣 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑣)) ∧ ∃𝑣𝐽 (𝑃𝑣 ∧ (𝐺𝑣) ⊆ 𝑢)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
7941, 44, 78mp2and 715 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑢𝐾 ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝑢)) → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢))
8079expr 642 . . 3 ((𝜑𝑢𝐾) → ((𝐺𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
8180ralrimiva 2995 . 2 (𝜑 → ∀𝑢𝐾 ((𝐺𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))
823toptopon 20770 . . . 4 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
8332, 82sylib 208 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ 𝐾))
8483, 11, 12lmbr2 21111 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐹)(⇝𝑡𝐾)(𝐺𝑃) ↔ ((𝐺𝐹) ∈ ( 𝐾pm ℂ) ∧ (𝐺𝑃) ∈ 𝐾 ∧ ∀𝑢𝐾 ((𝐺𝑃) ∈ 𝑢 → ∃𝑗 ∈ ℕ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐺𝐹) ∧ ((𝐺𝐹)‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
8537, 39, 81, 84mpbir3and 1264 1 (𝜑 → (𝐺𝐹)(⇝𝑡𝐾)(𝐺𝑃))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  ∪ cuni 4468   class class class wbr 4685  dom cdm 5143   “ cima 5146   ∘ ccom 5147   Fn wfn 5921  ⟶wf 5922  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↑pm cpm 7900  ℂcc 9972  1c1 9975  ℕcn 11058  ℤ≥cuz 11725  Topctop 20746  TopOnctopon 20763   CnP ccnp 21077  ⇝𝑡clm 21078 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-z 11416  df-uz 11726  df-top 20747  df-topon 20764  df-cnp 21080  df-lm 21081 This theorem is referenced by:  lmcn  21157  1stccnp  21313
 Copyright terms: Public domain W3C validator