MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmcvg 21288
Description: Convergence property of a converging sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Nov-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmcvg.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmcvg.3 (𝜑𝑃𝑈)
lmcvg.4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmcvg.5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
lmcvg.6 (𝜑𝑈𝐽)
Assertion
Ref Expression
lmcvg (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑈)
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐹   𝑗,𝐽,𝑘   𝑃,𝑗,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑈,𝑗,𝑘   𝑗,𝑀   𝑗,𝑍,𝑘
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmcvg
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmcvg.3 . 2 (𝜑𝑃𝑈)
2 eleq2 2828 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → (𝑃𝑢𝑃𝑈))
3 eleq2 2828 . . . . 5 (𝑢 = 𝑈 → ((𝐹𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝑈))
43rexralbidv 3196 . . . 4 (𝑢 = 𝑈 → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑈))
52, 4imbi12d 333 . . 3 (𝑢 = 𝑈 → ((𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑃𝑈 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑈)))
6 lmcvg.5 . . . . . 6 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
7 lmrcl 21257 . . . . . . . . 9 (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐽 ∈ Top)
86, 7syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Top)
9 eqid 2760 . . . . . . . . 9 𝐽 = 𝐽
109toptopon 20944 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
118, 10sylib 208 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
12 lmcvg.1 . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
13 lmcvg.4 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1411, 12, 13lmbr2 21285 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ∧ 𝑃 𝐽 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
156, 14mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ∈ ( 𝐽pm ℂ) ∧ 𝑃 𝐽 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
1615simp3d 1139 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
17 simpr 479 . . . . . . . 8 ((𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)
1817ralimi 3090 . . . . . . 7 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) → ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢)
1918reximi 3149 . . . . . 6 (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢) → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢)
2019imim2i 16 . . . . 5 ((𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) → (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
2120ralimi 3090 . . . 4 (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)) → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
2216, 21syl 17 . . 3 (𝜑 → ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
23 lmcvg.6 . . 3 (𝜑𝑈𝐽)
245, 22, 23rspcdva 3455 . 2 (𝜑 → (𝑃𝑈 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑈))
251, 24mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wral 3050  wrex 3051   cuni 4588   class class class wbr 4804  dom cdm 5266  cfv 6049  (class class class)co 6814  pm cpm 8026  cc 10146  cz 11589  cuz 11899  Topctop 20920  TopOnctopon 20937  𝑡clm 21252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-op 4328  df-uni 4589  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-id 5174  df-po 5187  df-so 5188  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-er 7913  df-pm 8028  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-neg 10481  df-z 11590  df-uz 11900  df-top 20921  df-topon 20938  df-lm 21255
This theorem is referenced by:  lmmo  21406  1stccnp  21487  1stckgenlem  21578  iscmet3lem2  23310
  Copyright terms: Public domain W3C validator