MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmflf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmflf 21719
Description: The topological limit relation on functions can be written in terms of the filter limit along the filter generated by the upper integer sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmflf.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmflf.2 𝐿 = (𝑍filGen(ℤ𝑍))
Assertion
Ref Expression
lmflf ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝑃 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹)))

Proof of Theorem lmflf
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 11634 . . . . . . . 8 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2 ffn 6002 . . . . . . . 8 (ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ → ℤ Fn ℤ)
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7 Fn ℤ
4 lmflf.1 . . . . . . . 8 𝑍 = (ℤ𝑀)
5 uzssz 11651 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
64, 5eqsstri 3614 . . . . . . 7 𝑍 ⊆ ℤ
7 imaeq2 5421 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (ℤ𝑗) → (𝐹𝑦) = (𝐹 “ (ℤ𝑗)))
87sseq1d 3611 . . . . . . . 8 (𝑦 = (ℤ𝑗) → ((𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ (𝐹 “ (ℤ𝑗)) ⊆ 𝑥))
98rexima 6451 . . . . . . 7 ((ℤ Fn ℤ ∧ 𝑍 ⊆ ℤ) → (∃𝑦 ∈ (ℤ𝑍)(𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐹 “ (ℤ𝑗)) ⊆ 𝑥))
103, 6, 9mp2an 707 . . . . . 6 (∃𝑦 ∈ (ℤ𝑍)(𝐹𝑦) ⊆ 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍 (𝐹 “ (ℤ𝑗)) ⊆ 𝑥)
11 simpl3 1064 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → 𝐹:𝑍𝑋)
12 ffun 6005 . . . . . . . . 9 (𝐹:𝑍𝑋 → Fun 𝐹)
1311, 12syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → Fun 𝐹)
14 uzss 11652 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑗) ⊆ (ℤ𝑀))
1514, 4eleq2s 2716 . . . . . . . . . 10 (𝑗𝑍 → (ℤ𝑗) ⊆ (ℤ𝑀))
1615adantl 482 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (ℤ𝑗) ⊆ (ℤ𝑀))
17 fdm 6008 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝑍𝑋 → dom 𝐹 = 𝑍)
1811, 17syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → dom 𝐹 = 𝑍)
1918, 4syl6eq 2671 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → dom 𝐹 = (ℤ𝑀))
2016, 19sseqtr4d 3621 . . . . . . . 8 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹)
21 funimass4 6204 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 ∧ (ℤ𝑗) ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ (ℤ𝑗)) ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥))
2213, 20, 21syl2anc 692 . . . . . . 7 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑗𝑍) → ((𝐹 “ (ℤ𝑗)) ⊆ 𝑥 ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥))
2322rexbidva 3042 . . . . . 6 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∃𝑗𝑍 (𝐹 “ (ℤ𝑗)) ⊆ 𝑥 ↔ ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥))
2410, 23syl5rbb 273 . . . . 5 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑦 ∈ (ℤ𝑍)(𝐹𝑦) ⊆ 𝑥))
2524imbi2d 330 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → ((𝑃𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥) ↔ (𝑃𝑥 → ∃𝑦 ∈ (ℤ𝑍)(𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))
2625ralbidv 2980 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥) ↔ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → ∃𝑦 ∈ (ℤ𝑍)(𝐹𝑦) ⊆ 𝑥)))
2726anbi2d 739 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → ((𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥)) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → ∃𝑦 ∈ (ℤ𝑍)(𝐹𝑦) ⊆ 𝑥))))
28 simp1 1059 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
29 simp2 1060 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → 𝑀 ∈ ℤ)
30 simp3 1061 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → 𝐹:𝑍𝑋)
31 eqidd 2622 . . 3 (((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) ∧ 𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑘))
3228, 4, 29, 30, 31lmbrf 20974 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → ∃𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐹𝑘) ∈ 𝑥))))
334uzfbas 21612 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍))
34 lmflf.2 . . . 4 𝐿 = (𝑍filGen(ℤ𝑍))
3534flffbas 21709 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ (ℤ𝑍) ∈ (fBas‘𝑍) ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝑃 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → ∃𝑦 ∈ (ℤ𝑍)(𝐹𝑦) ⊆ 𝑥))))
3633, 35syl3an2 1357 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝑃 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹) ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∀𝑥𝐽 (𝑃𝑥 → ∃𝑦 ∈ (ℤ𝑍)(𝐹𝑦) ⊆ 𝑥))))
3727, 32, 363bitr4d 300 1 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐹:𝑍𝑋) → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝑃 ∈ ((𝐽 fLimf 𝐿)‘𝐹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  wral 2907  wrex 2908  wss 3555  𝒫 cpw 4130   class class class wbr 4613  dom cdm 5074  cima 5077  Fun wfun 5841   Fn wfn 5842  wf 5843  cfv 5847  (class class class)co 6604  cz 11321  cuz 11631  fBascfbas 19653  filGencfg 19654  TopOnctopon 20618  𝑡clm 20940   fLimf cflf 21649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-z 11322  df-uz 11632  df-rest 16004  df-fbas 19662  df-fg 19663  df-top 20621  df-topon 20623  df-ntr 20734  df-nei 20812  df-lm 20943  df-fil 21560  df-fm 21652  df-flim 21653  df-flf 21654
This theorem is referenced by:  cmetcaulem  22994
  Copyright terms: Public domain W3C validator