MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmghm 18794
Description: A homomorphism of left modules is a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmghm (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Proof of Theorem lmghm
StepHypRef Expression
1 eqid 2605 . . 3 (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2 eqid 2605 . . 3 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
31, 2lmhmlem 18792 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4 simprl 789 . 2 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
53, 4syl 17 1 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1474  wcel 1975  cfv 5786  (class class class)co 6523  Scalarcsca 15713   GrpHom cghm 17422  LModclmod 18628   LMHom clmhm 18782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1711  ax-4 1726  ax-5 1825  ax-6 1873  ax-7 1920  ax-8 1977  ax-9 1984  ax-10 2004  ax-11 2019  ax-12 2031  ax-13 2228  ax-ext 2585  ax-sep 4699  ax-nul 4708  ax-pow 4760  ax-pr 4824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1866  df-eu 2457  df-mo 2458  df-clab 2592  df-cleq 2598  df-clel 2601  df-nfc 2735  df-ne 2777  df-ral 2896  df-rex 2897  df-rab 2900  df-v 3170  df-sbc 3398  df-dif 3538  df-un 3540  df-in 3542  df-ss 3549  df-nul 3870  df-if 4032  df-sn 4121  df-pr 4123  df-op 4127  df-uni 4363  df-br 4574  df-opab 4634  df-id 4939  df-xp 5030  df-rel 5031  df-cnv 5032  df-co 5033  df-dm 5034  df-iota 5750  df-fun 5788  df-fv 5794  df-ov 6526  df-oprab 6527  df-mpt2 6528  df-lmhm 18785
This theorem is referenced by:  lmhmf  18797  islmhm2  18801  lmhmco  18806  lmhmplusg  18807  lmhmvsca  18808  lmhmf1o  18809  lmhmima  18810  lmhmpreima  18811  reslmhm  18815  reslmhm2  18816  reslmhm2b  18817  lmhmeql  18818  lmimgim  18828  ip0l  19741  ipdir  19744  islindf5  19935  isnmhm2  22294  nmoleub2lem  22649  nmoleub2lem2  22651  nmhmcn  22655  kercvrlsm  36470  pwssplit4  36476  mendring  36580
  Copyright terms: Public domain W3C validator