MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmghm 18971
Description: A homomorphism of left modules is a homomorphism of groups. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmghm (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))

Proof of Theorem lmghm
StepHypRef Expression
1 eqid 2621 . . 3 (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2 eqid 2621 . . 3 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
31, 2lmhmlem 18969 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4 simprl 793 . 2 (((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
53, 4syl 17 1 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  Scalarcsca 15884   GrpHom cghm 17597  LModclmod 18803   LMHom clmhm 18959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-ral 2913  df-rex 2914  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-nul 3898  df-if 4065  df-sn 4156  df-pr 4158  df-op 4162  df-uni 4410  df-br 4624  df-opab 4684  df-id 4999  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fv 5865  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-lmhm 18962
This theorem is referenced by:  lmhmf  18974  islmhm2  18978  lmhmco  18983  lmhmplusg  18984  lmhmvsca  18985  lmhmf1o  18986  lmhmima  18987  lmhmpreima  18988  reslmhm  18992  reslmhm2  18993  reslmhm2b  18994  lmhmeql  18995  lmimgim  19005  ip0l  19921  ipdir  19924  islindf5  20118  isnmhm2  22496  nmoleub2lem  22854  nmoleub2lem2  22856  nmhmcn  22860  kercvrlsm  37172  pwssplit4  37178  mendring  37282
  Copyright terms: Public domain W3C validator