MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmlmod1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmlmod1 19734
Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
lmhmlmod1 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod1
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . . 3 (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2 eqid 2818 . . 3 (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
31, 2lmhmlem 19730 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
43simplld 764 1 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑆 ∈ LMod)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Scalarcsca 16556   GrpHom cghm 18293  LModclmod 19563   LMHom clmhm 19720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fv 6356  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-lmhm 19723
This theorem is referenced by:  islmhm2  19739  lmhmco  19744  lmhmplusg  19745  lmhmvsca  19746  lmhmf1o  19747  lmhmima  19748  lmhmpreima  19749  lmhmlsp  19750  lmhmrnlss  19751  reslmhm  19753  reslmhm2  19754  reslmhm2b  19755  lmhmeql  19756  lspextmo  19757  islmim  19763  lmiclcl  19771  lindfmm  20899  lindsmm  20900  lmhmclm  23618  lmhmlvec  39026  kercvrlsm  39561  lmhmfgima  39562  lmhmfgsplit  39564  lmhmlnmsplit  39565
  Copyright terms: Public domain W3C validator