Theorem lmhmlmod2 19807

Description: A homomorphism of left modules has a left module as codomain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod2	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmhmlmod2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2824	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑆) = (Scalar‘𝑆)
2		eqid 2824	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑇)
3	1, 2	lmhmlem 19804	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → ((𝑆 ∈ LMod ∧ 𝑇 ∈ LMod) ∧ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) ∧ (Scalar‘𝑇) = (Scalar‘𝑆))))
4	3	simplrd 768	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝑇 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  Scalarcsca 16571   GrpHom cghm 18358  LModclmod 19637   LMHom clmhm 19794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ral 3146  df-rex 3147  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4471  df-sn 4571  df-pr 4573  df-op 4577  df-uni 4842  df-br 5070  df-opab 5132  df-id 5463  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fv 6366  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-lmhm 19797

This theorem is referenced by:  lmhmco  19818  lmhmplusg  19819  lmhmvsca  19820  lmhmf1o  19821  lmhmima  19822  lmhmpreima  19823  lmhmlsp  19824  lmhmkerlss  19826  reslmhm  19827  islmim  19837  lmicrcl  19846  lindfmm  20974  lindsmm  20975  lmhmclm  23694  lmhmlvec2  31021  dimkerim  31027  lmhmlvec  39154  lmhmfgima  39690  lnmepi  39691  lmhmfgsplit  39692  lmhmlnmsplit  39693