Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmle 23007
 Description: If the distance from each member of a converging sequence to a given point is less than or equal to a given amount, so is the convergence value. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmle.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
lmle.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
lmle.4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
lmle.6 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
lmle.7 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
lmle.8 (𝜑𝑄𝑋)
lmle.9 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
lmle.10 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
Assertion
Ref Expression
lmle (𝜑 → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑘   𝑘,𝐽   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   𝑘,𝑋
Allowed substitution hint:   𝑀(𝑘)

Proof of Theorem lmle
Dummy variables 𝑗 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmle.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
2 lmle.4 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 lmle.3 . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
43mopntopon 22154 . . . . 5 (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
52, 4syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
6 lmle.6 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
7 lmrel 20944 . . . . 5 Rel (⇝𝑡𝐽)
8 lmle.7 . . . . 5 (𝜑𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
9 releldm 5318 . . . . 5 ((Rel (⇝𝑡𝐽) ∧ 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃) → 𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
107, 8, 9sylancr 694 . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ dom (⇝𝑡𝐽))
111, 5, 6, 10lmff 21015 . . 3 (𝜑 → ∃𝑗𝑍 (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)
12 eqid 2621 . . . 4 (ℤ𝑗) = (ℤ𝑗)
135adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14 simprl 793 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗𝑍)
1514, 1syl6eleq 2708 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
16 eluzelz 11641 . . . . 5 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
1715, 16syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝑗 ∈ ℤ)
188adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃)
19 fvres 6164 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑗) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
2019adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
21 simprr 795 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)
2221ffvelrnda 6315 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑗))‘𝑘) ∈ 𝑋)
2320, 22eqeltrrd 2699 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑋)
241uztrn2 11649 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
2514, 24sylan 488 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘𝑍)
26 lmle.10 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
2726adantlr 750 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘𝑍) → (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
2825, 27syldan 487 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅)
29 oveq2 6612 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐹𝑘) → (𝑄𝐷𝑥) = (𝑄𝐷(𝐹𝑘)))
3029breq1d 4623 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐹𝑘) → ((𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅))
3130elrab 3346 . . . . 5 ((𝐹𝑘) ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ↔ ((𝐹𝑘) ∈ 𝑋 ∧ (𝑄𝐷(𝐹𝑘)) ≤ 𝑅))
3223, 28, 31sylanbrc 697 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
33 lmle.8 . . . . . 6 (𝜑𝑄𝑋)
34 lmle.9 . . . . . 6 (𝜑𝑅 ∈ ℝ*)
35 eqid 2621 . . . . . . 7 {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} = {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅}
363, 35blcld 22220 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑄𝑋𝑅 ∈ ℝ*) → {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
372, 33, 34, 36syl3anc 1323 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
3837adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ∈ (Clsd‘𝐽))
3912, 13, 17, 18, 32, 38lmcld 21017 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑗𝑍 ∧ (𝐹 ↾ (ℤ𝑗)):(ℤ𝑗)⟶𝑋)) → 𝑃 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
4011, 39rexlimddv 3028 . 2 (𝜑𝑃 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅})
41 oveq2 6612 . . . . 5 (𝑥 = 𝑃 → (𝑄𝐷𝑥) = (𝑄𝐷𝑃))
4241breq1d 4623 . . . 4 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅 ↔ (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
4342elrab 3346 . . 3 (𝑃 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} ↔ (𝑃𝑋 ∧ (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅))
4443simprbi 480 . 2 (𝑃 ∈ {𝑥𝑋 ∣ (𝑄𝐷𝑥) ≤ 𝑅} → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
4540, 44syl 17 1 (𝜑 → (𝑄𝐷𝑃) ≤ 𝑅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  {crab 2911   class class class wbr 4613  dom cdm 5074   ↾ cres 5076  Rel wrel 5079  ⟶wf 5843  ‘cfv 5847  (class class class)co 6604  ℝ*cxr 10017   ≤ cle 10019  ℤcz 11321  ℤ≥cuz 11631  ∞Metcxmt 19650  MetOpencmopn 19655  TopOnctopon 20618  Clsdccld 20730  ⇝𝑡clm 20940 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957  ax-pre-sup 9958 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-iin 4488  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-er 7687  df-map 7804  df-pm 7805  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-sup 8292  df-inf 8293  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-div 10629  df-nn 10965  df-2 11023  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-q 11733  df-rp 11777  df-xneg 11890  df-xadd 11891  df-xmul 11892  df-topgen 16025  df-psmet 19657  df-xmet 19658  df-bl 19660  df-mopn 19661  df-top 20621  df-bases 20622  df-topon 20623  df-cld 20733  df-ntr 20734  df-cls 20735  df-lm 20943 This theorem is referenced by:  nglmle  23008  minvecolem4  27585
 Copyright terms: Public domain W3C validator