Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmlim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmlim 29118
Description: Relate a limit in a given topology to a complex number limit, provided that topology agrees with the common topology on on the required subset. (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lmlim.j 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑌)
lmlim.f (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
lmlim.p (𝜑𝑃𝑋)
lmlim.t (𝐽t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
lmlim.x 𝑋 ⊆ ℂ
Assertion
Ref Expression
lmlim (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐹𝑃))

Proof of Theorem lmlim
StepHypRef Expression
1 eqid 2514 . . 3 (𝐽t 𝑋) = (𝐽t 𝑋)
2 nnuz 11462 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
3 cnex 9771 . . . . 5 ℂ ∈ V
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ℂ ∈ V)
5 lmlim.x . . . . 5 𝑋 ⊆ ℂ
65a1i 11 . . . 4 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
74, 6ssexd 4632 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ V)
8 lmlim.j . . . . 5 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑌)
98topontopi 20447 . . . 4 𝐽 ∈ Top
109a1i 11 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
11 lmlim.p . . 3 (𝜑𝑃𝑋)
12 1z 11147 . . . 4 1 ∈ ℤ
1312a1i 11 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
14 lmlim.f . . 3 (𝜑𝐹:ℕ⟶𝑋)
151, 2, 7, 10, 11, 13, 14lmss 20813 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐹(⇝𝑡‘(𝐽t 𝑋))𝑃))
16 lmlim.t . . . . 5 (𝐽t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
1716fveq2i 5989 . . . 4 (⇝𝑡‘(𝐽t 𝑋)) = (⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))
1817breqi 4487 . . 3 (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽t 𝑋))𝑃𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃)
1918a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(𝐽t 𝑋))𝑃𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃))
20 eqid 2514 . . . 4 ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋)
21 eqid 2514 . . . . . 6 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
2221cnfldtop 22304 . . . . 5 (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top
2322a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (TopOpen‘ℂfld) ∈ Top)
2420, 2, 7, 23, 11, 13, 14lmss 20813 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃))
25 fss 5854 . . . . 5 ((𝐹:ℕ⟶𝑋𝑋 ⊆ ℂ) → 𝐹:ℕ⟶ℂ)
2614, 5, 25sylancl 692 . . . 4 (𝜑𝐹:ℕ⟶ℂ)
2721, 2lmclimf 22774 . . . 4 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐹:ℕ⟶ℂ) → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃𝐹𝑃))
2812, 26, 27sylancr 693 . . 3 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘(TopOpen‘ℂfld))𝑃𝐹𝑃))
2924, 28bitr3d 268 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡‘((TopOpen‘ℂfld) ↾t 𝑋))𝑃𝐹𝑃))
3015, 19, 293bitrd 292 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃𝐹𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194   = wceq 1474  wcel 1938  Vcvv 3077  wss 3444   class class class wbr 4481  wf 5685  cfv 5689  (class class class)co 6425  cc 9688  1c1 9691  cn 10774  cz 11117  cli 13927  t crest 15786  TopOpenctopn 15787  fldccnfld 19469  Topctop 20418  TopOnctopon 20419  𝑡clm 20741
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6722  ax-cnex 9746  ax-resscn 9747  ax-1cn 9748  ax-icn 9749  ax-addcl 9750  ax-addrcl 9751  ax-mulcl 9752  ax-mulrcl 9753  ax-mulcom 9754  ax-addass 9755  ax-mulass 9756  ax-distr 9757  ax-i2m1 9758  ax-1ne0 9759  ax-1rid 9760  ax-rnegex 9761  ax-rrecex 9762  ax-cnre 9763  ax-pre-lttri 9764  ax-pre-lttrn 9765  ax-pre-ltadd 9766  ax-pre-mulgt0 9767  ax-pre-sup 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-int 4309  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6387  df-ov 6428  df-oprab 6429  df-mpt2 6430  df-om 6833  df-1st 6933  df-2nd 6934  df-wrecs 7168  df-recs 7230  df-rdg 7268  df-1o 7322  df-oadd 7326  df-er 7504  df-map 7621  df-pm 7622  df-en 7717  df-dom 7718  df-sdom 7719  df-fin 7720  df-fi 8075  df-sup 8106  df-inf 8107  df-pnf 9830  df-mnf 9831  df-xr 9832  df-ltxr 9833  df-le 9834  df-sub 10018  df-neg 10019  df-div 10433  df-nn 10775  df-2 10833  df-3 10834  df-4 10835  df-5 10836  df-6 10837  df-7 10838  df-8 10839  df-9 10840  df-n0 11047  df-z 11118  df-dec 11233  df-uz 11427  df-q 11530  df-rp 11574  df-xneg 11687  df-xadd 11688  df-xmul 11689  df-fz 12065  df-seq 12531  df-exp 12590  df-cj 13544  df-re 13545  df-im 13546  df-sqrt 13680  df-abs 13681  df-clim 13931  df-struct 15579  df-ndx 15580  df-slot 15581  df-base 15582  df-plusg 15663  df-mulr 15664  df-starv 15665  df-tset 15669  df-ple 15670  df-ds 15673  df-unif 15674  df-rest 15788  df-topn 15789  df-topgen 15809  df-psmet 19461  df-xmet 19462  df-met 19463  df-bl 19464  df-mopn 19465  df-cnfld 19470  df-top 20422  df-bases 20423  df-topon 20424  df-topsp 20425  df-lm 20744  df-xms 21835  df-ms 21836
This theorem is referenced by:  lmlimxrge0  29119
  Copyright terms: Public domain W3C validator