MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmod0vrid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod0vrid 18666
Description: Right identity law for the zero vector. (ax-hvaddid 27039 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
0vlid.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
0vlid.a + = (+g𝑊)
0vlid.z 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmod0vrid ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem lmod0vrid
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 18642 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 0vlid.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 0vlid.a . . 3 + = (+g𝑊)
4 0vlid.z . . 3 0 = (0g𝑊)
52, 3, 4grprid 17225 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
61, 5sylan 487 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋 + 0 ) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  +gcplusg 15717  0gc0g 15872  Grpcgrp 17194  LModclmod 18635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4368  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-0g 15874  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-grp 17197  df-lmod 18637
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  18678  lssvscl  18725  lspfixed  18898  lsmcv  18911  lspsolvlem  18912  lspsolv  18913  lfl0  33164  lflmul  33167  lshpkrlem1  33209  lclkrlem2j  35617  lcfrlem7  35649  mapdh6dN  35840  hdmap1l6d  35915
  Copyright terms: Public domain W3C validator