Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod1lem2 42805
Description: Lemma 2 for lmod1 42809. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1lem2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)(𝐼(+g𝑀)𝐼)) = ((𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)(+g𝑀)(𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑟,𝑥,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥,𝑦   𝑉,𝑟,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem lmod1lem2
StepHypRef Expression
1 fvex 6363 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
2 snex 5057 . . . . . . 7 {𝐼} ∈ V
31, 2pm3.2i 470 . . . . . 6 ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
4 mpt2exga 7415 . . . . . 6 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
53, 4mp1i 13 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
6 lmod1.m . . . . . 6 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
76lmodvsca 16243 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
85, 7syl 17 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
98eqcomd 2766 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ( ·𝑠𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
10 simprr 813 . . 3 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥 = 𝑟𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
11 simp3 1133 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
12 snidg 4351 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
13123ad2ant1 1128 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ {𝐼})
149, 10, 11, 13, 13ovmpt2d 6954 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼) = 𝐼)
15 snex 5057 . . . . . . 7 {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
166lmodplusg 16241 . . . . . . 7 ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g𝑀))
1715, 16mp1i 13 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g𝑀))
1817eqcomd 2766 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (+g𝑀) = {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
1918oveqd 6831 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼(+g𝑀)𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
20 df-ov 6817 . . . . 5 (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
21 opex 5081 . . . . . 6 𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
22 simp1 1131 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐼𝑉)
23 fvsng 6612 . . . . . 6 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
2421, 22, 23sylancr 698 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
2520, 24syl5eq 2806 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
2619, 25eqtrd 2794 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼(+g𝑀)𝐼) = 𝐼)
2726oveq2d 6830 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)(𝐼(+g𝑀)𝐼)) = (𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼))
282a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝐼} ∈ V)
291, 28, 4sylancr 698 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
3029, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
3130eqcomd 2766 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ( ·𝑠𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
3231, 10, 11, 13, 13ovmpt2d 6954 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼) = 𝐼)
3332, 32oveq12d 6832 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)(+g𝑀)(𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)) = (𝐼(+g𝑀)𝐼))
3433, 26eqtrd 2794 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)(+g𝑀)(𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)) = 𝐼)
3514, 27, 343eqtr4d 2804 1 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)(𝐼(+g𝑀)𝐼)) = ((𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)(+g𝑀)(𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  Vcvv 3340  cun 3713  {csn 4321  {ctp 4325  cop 4327  cfv 6049  (class class class)co 6814  cmpt2 6816  ndxcnx 16076  Basecbs 16079  +gcplusg 16163  Scalarcsca 16166   ·𝑠 cvsca 16167  Ringcrg 18767
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-4 11293  df-5 11294  df-6 11295  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-fz 12540  df-struct 16081  df-ndx 16082  df-slot 16083  df-base 16085  df-plusg 16176  df-sca 16179  df-vsca 16180
This theorem is referenced by:  lmod1  42809
  Copyright terms: Public domain W3C validator