Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod1lem2 42093
Description: Lemma 2 for lmod1 42097. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1lem2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)(𝐼(+g𝑀)𝐼)) = ((𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)(+g𝑀)(𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)))
Distinct variable groups:   𝐼,𝑟,𝑥,𝑦   𝑅,𝑟,𝑥,𝑦   𝑉,𝑟,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑀(𝑥,𝑦,𝑟)

Proof of Theorem lmod1lem2
StepHypRef Expression
1 fvex 6098 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
2 snex 4830 . . . . . . 7 {𝐼} ∈ V
31, 2pm3.2i 469 . . . . . 6 ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
4 mpt2exga 7113 . . . . . 6 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
53, 4mp1i 13 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
6 lmod1.m . . . . . 6 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
76lmodvsca 15793 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
85, 7syl 17 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
98eqcomd 2615 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ( ·𝑠𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
10 simprr 791 . . 3 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑥 = 𝑟𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
11 simp3 1055 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝑟 ∈ (Base‘𝑅))
12 snidg 4152 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
13123ad2ant1 1074 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ {𝐼})
149, 10, 11, 13, 13ovmpt2d 6664 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼) = 𝐼)
15 snex 4830 . . . . . . 7 {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V
166lmodplusg 15791 . . . . . . 7 ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} ∈ V → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g𝑀))
1715, 16mp1i 13 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (+g𝑀))
1817eqcomd 2615 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (+g𝑀) = {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
1918oveqd 6544 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼(+g𝑀)𝐼) = (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼))
20 df-ov 6530 . . . . 5 (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩)
21 opex 4853 . . . . . 6 𝐼, 𝐼⟩ ∈ V
22 simp1 1053 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → 𝐼𝑉)
23 fvsng 6330 . . . . . 6 ((⟨𝐼, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
2421, 22, 23sylancr 693 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ({⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}‘⟨𝐼, 𝐼⟩) = 𝐼)
2520, 24syl5eq 2655 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼{⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}𝐼) = 𝐼)
2619, 25eqtrd 2643 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼(+g𝑀)𝐼) = 𝐼)
2726oveq2d 6543 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)(𝐼(+g𝑀)𝐼)) = (𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼))
282a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → {𝐼} ∈ V)
291, 28, 4sylancr 693 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
3029, 7syl 17 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
3130eqcomd 2615 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ( ·𝑠𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
3231, 10, 11, 13, 13ovmpt2d 6664 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼) = 𝐼)
3332, 32oveq12d 6545 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)(+g𝑀)(𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)) = (𝐼(+g𝑀)𝐼))
3433, 26eqtrd 2643 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)(+g𝑀)(𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)) = 𝐼)
3514, 27, 343eqtr4d 2653 1 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑟 ∈ (Base‘𝑅)) → (𝑟( ·𝑠𝑀)(𝐼(+g𝑀)𝐼)) = ((𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)(+g𝑀)(𝑟( ·𝑠𝑀)𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  Vcvv 3172  cun 3537  {csn 4124  {ctp 4128  cop 4130  cfv 5790  (class class class)co 6527  cmpt2 6529  ndxcnx 15641  Basecbs 15644  +gcplusg 15717  Scalarcsca 15720   ·𝑠 cvsca 15721  Ringcrg 18319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-int 4405  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-1st 7037  df-2nd 7038  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-1o 7425  df-oadd 7429  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-fin 7823  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-3 10930  df-4 10931  df-5 10932  df-6 10933  df-n0 11143  df-z 11214  df-uz 11523  df-fz 12156  df-struct 15646  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-plusg 15730  df-sca 15733  df-vsca 15734
This theorem is referenced by:  lmod1  42097
  Copyright terms: Public domain W3C validator