Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmod1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmod1lem5 41568
Description: Lemma 5 for lmod1 41569. (Contributed by AV, 28-Apr-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
lmod1.m 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
Assertion
Ref Expression
lmod1lem5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝐼) = 𝐼)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐼,𝑦   𝑥,𝑅,𝑦   𝑥,𝑉,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦

Proof of Theorem lmod1lem5
StepHypRef Expression
1 fvex 6158 . . . . . 6 (Base‘𝑅) ∈ V
2 snex 4869 . . . . . 6 {𝐼} ∈ V
31, 2pm3.2i 471 . . . . 5 ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V)
43a1i 11 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V))
5 mpt2exga 7191 . . . 4 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ {𝐼} ∈ V) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V)
6 lmod1.m . . . . 5 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦)⟩})
76lmodvsca 15942 . . . 4 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) ∈ V → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
84, 5, 73syl 18 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦) = ( ·𝑠𝑀))
98eqcomd 2627 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ( ·𝑠𝑀) = (𝑥 ∈ (Base‘𝑅), 𝑦 ∈ {𝐼} ↦ 𝑦))
10 simprr 795 . 2 (((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑥 = (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∧ 𝑦 = 𝐼)) → 𝑦 = 𝐼)
116lmodsca 15941 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
1211adantl 482 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑅 = (Scalar‘𝑀))
1312eqcomd 2627 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (Scalar‘𝑀) = 𝑅)
1413fveq2d 6152 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝑀)) = (1r𝑅))
15 eqid 2621 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16 eqid 2621 . . . . 5 (1r𝑅) = (1r𝑅)
1715, 16ringidcl 18489 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1817adantl 482 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
1914, 18eqeltrd 2698 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → (1r‘(Scalar‘𝑀)) ∈ (Base‘𝑅))
20 snidg 4177 . . 3 (𝐼𝑉𝐼 ∈ {𝐼})
2120adantr 481 . 2 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝐼 ∈ {𝐼})
229, 10, 19, 21, 21ovmpt2d 6741 1 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → ((1r‘(Scalar‘𝑀))( ·𝑠𝑀)𝐼) = 𝐼)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1480  wcel 1987  Vcvv 3186  cun 3553  {csn 4148  {ctp 4152  cop 4154  cfv 5847  (class class class)co 6604  cmpt2 6606  ndxcnx 15778  Basecbs 15781  +gcplusg 15862  Scalarcsca 15865   ·𝑠 cvsca 15866  1rcur 18422  Ringcrg 18468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4731  ax-sep 4741  ax-nul 4749  ax-pow 4803  ax-pr 4867  ax-un 6902  ax-cnex 9936  ax-resscn 9937  ax-1cn 9938  ax-icn 9939  ax-addcl 9940  ax-addrcl 9941  ax-mulcl 9942  ax-mulrcl 9943  ax-mulcom 9944  ax-addass 9945  ax-mulass 9946  ax-distr 9947  ax-i2m1 9948  ax-1ne0 9949  ax-1rid 9950  ax-rnegex 9951  ax-rrecex 9952  ax-cnre 9953  ax-pre-lttri 9954  ax-pre-lttrn 9955  ax-pre-ltadd 9956  ax-pre-mulgt0 9957
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3188  df-sbc 3418  df-csb 3515  df-dif 3558  df-un 3560  df-in 3562  df-ss 3569  df-pss 3571  df-nul 3892  df-if 4059  df-pw 4132  df-sn 4149  df-pr 4151  df-tp 4153  df-op 4155  df-uni 4403  df-int 4441  df-iun 4487  df-br 4614  df-opab 4674  df-mpt 4675  df-tr 4713  df-eprel 4985  df-id 4989  df-po 4995  df-so 4996  df-fr 5033  df-we 5035  df-xp 5080  df-rel 5081  df-cnv 5082  df-co 5083  df-dm 5084  df-rn 5085  df-res 5086  df-ima 5087  df-pred 5639  df-ord 5685  df-on 5686  df-lim 5687  df-suc 5688  df-iota 5810  df-fun 5849  df-fn 5850  df-f 5851  df-f1 5852  df-fo 5853  df-f1o 5854  df-fv 5855  df-riota 6565  df-ov 6607  df-oprab 6608  df-mpt2 6609  df-om 7013  df-1st 7113  df-2nd 7114  df-wrecs 7352  df-recs 7413  df-rdg 7451  df-1o 7505  df-oadd 7509  df-er 7687  df-en 7900  df-dom 7901  df-sdom 7902  df-fin 7903  df-pnf 10020  df-mnf 10021  df-xr 10022  df-ltxr 10023  df-le 10024  df-sub 10212  df-neg 10213  df-nn 10965  df-2 11023  df-3 11024  df-4 11025  df-5 11026  df-6 11027  df-n0 11237  df-z 11322  df-uz 11632  df-fz 12269  df-struct 15783  df-ndx 15784  df-slot 15785  df-base 15786  df-sets 15787  df-plusg 15875  df-sca 15878  df-vsca 15879  df-0g 16023  df-mgm 17163  df-sgrp 17205  df-mnd 17216  df-mgp 18411  df-ur 18423  df-ring 18470
This theorem is referenced by:  lmod1  41569
  Copyright terms: Public domain W3C validator