Theorem lmod1zr 42075

Description: The (smallest) structure representing a zero module over a zero ring. (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmod1zr.r	⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
lmod1zr.m	⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmod1zr	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)

Proof of Theorem lmod1zr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑖 𝑝 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmod1zr.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩})
2		elsni 4138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} → 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩)
3		fveq2 6085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩ → (2nd ‘𝑝) = (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩))
4	3	adantl 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘𝑝) = (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩))
5		op2ndg 7046	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) = 𝐼)
6	5	ancoms 467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) = 𝐼)
7		snidg 4149	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐼 ∈ {𝐼})
8	7	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ {𝐼})
9	6, 8	eqeltrd 2684	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) ∈ {𝐼})
10	9	adantr 479	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘⟨𝑍, 𝐼⟩) ∈ {𝐼})
11	4, 10	eqeltrd 2684	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 = ⟨𝑍, 𝐼⟩) → (2nd ‘𝑝) ∈ {𝐼})
12	2, 11	sylan2 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩}) → (2nd ‘𝑝) ∈ {𝐼})
13		eqid 2606	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝))
14	12, 13	fmptd 6274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼})
15		opex 4850	. . . . . . . . . 10 ⊢ ⟨𝑍, 𝐼⟩ ∈ V
16		simpl 471	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝐼 ∈ 𝑉)
17		fsng 6292	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨𝑍, 𝐼⟩ ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼} ↔ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}))
18	15, 16, 17	sylancr 693	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ((𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)):{⟨𝑍, 𝐼⟩}⟶{𝐼} ↔ (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}))
19	14, 18	mpbid 220	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩})
20		xpsng 6294	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ({𝑍} × {𝐼}) = {⟨𝑍, 𝐼⟩})
21	20	ancoms 467	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ({𝑍} × {𝐼}) = {⟨𝑍, 𝐼⟩})
22	21	eqcomd 2612	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨𝑍, 𝐼⟩} = ({𝑍} × {𝐼}))
23	22	mpteq1d 4657	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ {⟨𝑍, 𝐼⟩} ↦ (2nd ‘𝑝)) = (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)))
24	19, 23	eqtr3d 2642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)))
25		vex 3172	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
26		vex 3172	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑖 ∈ V
27	25, 26	op2ndd 7044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ⟨𝑧, 𝑖⟩ → (2nd ‘𝑝) = 𝑖)
28	27	mpt2mpt 6625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)) = (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)
29	28	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑝 ∈ ({𝑍} × {𝐼}) ↦ (2nd ‘𝑝)) = (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
30		snex 4827	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑍} ∈ V
31		lmod1zr.r	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), {𝑍}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩, ⟨(.r‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}⟩}
32	31	rngbase 15767	. . . . . . . . 9 ⊢ ({𝑍} ∈ V → {𝑍} = (Base‘𝑅))
33	30, 32	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝑍} = (Base‘𝑅))
34		eqidd 2607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {𝐼} = {𝐼})
35		mpt2eq12 6588	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑍} = (Base‘𝑅) ∧ {𝐼} = {𝐼}) → (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
36	33, 34, 35	syl2anc 690	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (𝑧 ∈ {𝑍}, 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
37	24, 29, 36	3eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩} = (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖))
38	37	opeq2d 4338	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩)
39	38	sneqd 4133	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩} = {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩})
40	39	uneq2d 3725	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), {⟨⟨𝑍, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}))
41	1, 40	syl5eq 2652	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}))
42	31	ring1 18368	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → 𝑅 ∈ Ring)
43		eqidd 2607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑎 → 𝑖 = 𝑖)
44		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑏 → 𝑖 = 𝑏)
45	43, 44	cbvmpt2v 6608	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖) = (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)
46	45	opeq2i 4335	. . . . . 6 ⊢ ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩ = ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩
47	46	sneqi 4132	. . . . 5 ⊢ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩} = {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩}
48	47	uneq2i 3722	. . . 4 ⊢ ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑎 ∈ (Base‘𝑅), 𝑏 ∈ {𝐼} ↦ 𝑏)⟩})
49	48	lmod1 42074	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) ∈ LMod)
50	42, 49	sylan2 489	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → ({⟨(Base‘ndx), {𝐼}⟩, ⟨(+g‘ndx), {⟨⟨𝐼, 𝐼⟩, 𝐼⟩}⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝑅⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑧 ∈ (Base‘𝑅), 𝑖 ∈ {𝐼} ↦ 𝑖)⟩}) ∈ LMod)
51	41, 50	eqeltrd 2684	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → 𝑀 ∈ LMod)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 194   ∧ wa 382   = wceq 1474   ∈ wcel 1976  Vcvv 3169   ∪ cun 3534  {csn 4121  {ctp 4125  ⟨cop 4127   ↦ cmpt 4634   × cxp 5023  ⟶wf 5783  ‘cfv 5787   ↦ cmpt2 6526  2^nd c2nd 7032  ndxcnx 15635  Basecbs 15638  +_gcplusg 15711  ._rcmulr 15712  Scalarcsca 15714   ·_𝑠 cvsca 15715  Ringcrg 18313  LModclmod 18629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-rep 4690  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-1cn 9847  ax-icn 9848  ax-addcl 9849  ax-addrcl 9850  ax-mulcl 9851  ax-mulrcl 9852  ax-mulcom 9853  ax-addass 9854  ax-mulass 9855  ax-distr 9856  ax-i2m1 9857  ax-1ne0 9858  ax-1rid 9859  ax-rnegex 9860  ax-rrecex 9861  ax-cnre 9862  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864  ax-pre-ltadd 9865  ax-pre-mulgt0 9866

This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-reu 2899  df-rmo 2900  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-pss 3552  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-tp 4126  df-op 4128  df-uni 4364  df-int 4402  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-tr 4672  df-eprel 4936  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-fr 4984  df-we 4986  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-pred 5580  df-ord 5626  df-on 5627  df-lim 5628  df-suc 5629  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-riota 6486  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-om 6932  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-wrecs 7268  df-recs 7329  df-rdg 7367  df-1o 7421  df-oadd 7425  df-er 7603  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-fin 7819  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-sub 10116  df-neg 10117  df-nn 10865  df-2 10923  df-3 10924  df-4 10925  df-5 10926  df-6 10927  df-n0 11137  df-z 11208  df-uz 11517  df-fz 12150  df-struct 15640  df-ndx 15641  df-slot 15642  df-base 15643  df-sets 15644  df-plusg 15724  df-mulr 15725  df-sca 15727  df-vsca 15728  df-0g 15868  df-mgm 17008  df-sgrp 17050  df-mnd 17061  df-grp 17191  df-mgp 18256  df-ur 18268  df-ring 18315  df-lmod 18631

This theorem is referenced by:  lmodn0  42077  lvecpsslmod  42089