MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodass 18647
Description: Left module vector sum is associative. (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvacl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvacl.a + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodass ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem lmodass
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 18639 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 lmodvacl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lmodvacl.a . . 3 + = (+g𝑊)
42, 3grpass 17200 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
51, 4sylan 486 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉𝑍𝑉)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  Grpcgrp 17191  LModclmod 18632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-nul 4712
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ral 2900  df-rex 2901  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-br 4578  df-iota 5754  df-fv 5798  df-ov 6530  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-lmod 18634
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  18675  lmodcom  18678  baerlem5alem1  35811  mapdh6gN  35845  mapdh6hN  35846  hdmap1l6g  35920  hdmap1l6h  35921
  Copyright terms: Public domain W3C validator