Theorem lmodcom 19682

Description: Left module vector sum is commutative. (Contributed by Gérard Lang, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodcom.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodcom.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodcom	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem lmodcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2		eqid 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3		eqid 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4		eqid 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
5	2, 3, 4	lmod1cl 19663	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
6	1, 5	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7		eqid 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
8	2, 3, 7	lmodacl 19647	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
9	1, 6, 6, 8	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
10		simp2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
11		simp3 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑌 ∈ 𝑉)
12		lmodcom.v	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
13		lmodcom.a	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝑊)
14		eqid 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15	12, 13, 2, 14, 3	lmodvsdi 19659	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
16	1, 9, 10, 11, 15	syl13anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
17	12, 13	lmodvacl 19650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
18	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 19660	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
19	1, 6, 6, 17, 18	syl13anc 1368	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
20	16, 19	eqtr3d 2860	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
21	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 19660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
22	1, 6, 6, 10, 21	syl13anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)))
23	12, 2, 14, 4	lmodvs1 19664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
24	1, 10, 23	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = 𝑋)
25	24, 24	oveq12d 7176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
26	22, 25	eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
27	12, 13, 2, 14, 3, 7	lmodvsdir 19660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
28	1, 6, 6, 11, 27	syl13anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)))
29	12, 2, 14, 4	lmodvs1 19664	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = 𝑌)
30	1, 11, 29	syl2anc 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = 𝑌)
31	30, 30	oveq12d 7176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = (𝑌 + 𝑌))
32	28, 31	eqtrd 2858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
33	26, 32	oveq12d 7176	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
34	12, 2, 14, 4	lmodvs1 19664	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
35	1, 17, 34	syl2anc 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
36	35, 35	oveq12d 7176	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
37	20, 33, 36	3eqtr3d 2866	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
38	12, 13	lmodvacl 19650	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉)
39	1, 10, 10, 38	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉)
40	12, 13	lmodass 19651	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
41	1, 39, 11, 11, 40	syl13anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
42	12, 13	lmodass 19651	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
43	1, 17, 10, 11, 42	syl13anc 1368	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
44	37, 41, 43	3eqtr4d 2868	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌))
45		lmodgrp 19643	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
46	1, 45	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Grp)
47	12, 13	lmodvacl 19650	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉)
48	1, 39, 11, 47	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉)
49	12, 13	lmodvacl 19650	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉)
50	1, 17, 10, 49	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉)
51	12, 13	grprcan 18139	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
52	46, 48, 50, 11, 51	syl13anc 1368	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
53	44, 52	mpbid 234	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋))
54	12, 13	lmodass 19651	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
55	1, 10, 10, 11, 54	syl13anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
56	12, 13	lmodass 19651	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
57	1, 10, 11, 10, 56	syl13anc 1368	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
58	53, 55, 57	3eqtr3d 2866	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
59	12, 13	lmodvacl 19650	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉)
60	59	3com23 1122	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉)
61	12, 13	lmodlcan 19652	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
62	1, 17, 60, 10, 61	syl13anc 1368	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
63	58, 62	mpbid 234	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  Grpcgrp 18105  1_rcur 19253  LModclmod 19636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-lmod 19638

This theorem is referenced by:  lmodabl  19683  lssvsubcl  19717  lssvancl2  19719  lspsolv  19917  lflsub  36205  lcfrlem21  38701  lcfrlem42  38722  mapdindp4  38861