MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodcom 18849
Description: Left module vector sum is commutative. (Contributed by Gérard Lang, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodcom.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodcom.a + = (+g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodcom ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Proof of Theorem lmodcom
StepHypRef Expression
1 simp1 1059 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
2 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
3 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
4 eqid 2621 . . . . . . . . . . 11 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
52, 3, 4lmod1cl 18830 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
61, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
7 eqid 2621 . . . . . . . . . 10 (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
82, 3, 7lmodacl 18814 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
91, 6, 6, 8syl3anc 1323 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
10 simp2 1060 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑋𝑉)
11 simp3 1061 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑌𝑉)
12 lmodcom.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
13 lmodcom.a . . . . . . . . 9 + = (+g𝑊)
14 eqid 2621 . . . . . . . . 9 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
1512, 13, 2, 14, 3lmodvsdi 18826 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
161, 9, 10, 11, 15syl13anc 1325 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
1712, 13lmodvacl 18817 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
1812, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 18827 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
191, 6, 6, 17, 18syl13anc 1325 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
2016, 19eqtr3d 2657 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌))))
2112, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 18827 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋)))
221, 6, 6, 10, 21syl13anc 1325 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋)))
2312, 2, 14, 4lmodvs1 18831 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 𝑋)
241, 10, 23syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) = 𝑋)
2524, 24oveq12d 6633 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = (𝑋 + 𝑋))
2622, 25eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) = (𝑋 + 𝑋))
2712, 13, 2, 14, 3, 7lmodvsdir 18827 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌𝑉)) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
281, 6, 6, 11, 27syl13anc 1325 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) = (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
2912, 2, 14, 4lmodvs1 18831 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = 𝑌)
301, 11, 29syl2anc 692 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = 𝑌)
3130, 30oveq12d 6633 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑌 + 𝑌))
3228, 31eqtrd 2655 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) = (𝑌 + 𝑌))
3326, 32oveq12d 6633 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑋) + (((1r‘(Scalar‘𝑊))(+g‘(Scalar‘𝑊))(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
3412, 2, 14, 4lmodvs1 18831 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
351, 17, 34syl2anc 692 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + 𝑌))
3635, 35oveq12d 6633 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌)) + ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)(𝑋 + 𝑌))) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
3720, 33, 363eqtr3d 2663 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
3812, 13lmodvacl 18817 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑋𝑉) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉)
391, 10, 10, 38syl3anc 1323 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉)
4012, 13lmodass 18818 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
411, 39, 11, 11, 40syl13anc 1325 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑋) + (𝑌 + 𝑌)))
4212, 13lmodass 18818 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
431, 17, 10, 11, 42syl13anc 1325 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + (𝑋 + 𝑌)))
4437, 41, 433eqtr4d 2665 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌))
45 lmodgrp 18810 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
461, 45syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → 𝑊 ∈ Grp)
4712, 13lmodvacl 18817 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉)
481, 39, 11, 47syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉)
4912, 13lmodvacl 18817 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉𝑋𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉)
501, 17, 10, 49syl3anc 1323 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉)
5112, 13grprcan 17395 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Grp ∧ (((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) ∈ 𝑉𝑌𝑉)) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
5246, 48, 50, 11, 51syl13anc 1325 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) + 𝑌) = (((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) + 𝑌) ↔ ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋)))
5344, 52mpbid 222 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋))
5412, 13lmodass 18818 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉𝑌𝑉)) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
551, 10, 10, 11, 54syl13anc 1325 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑋) + 𝑌) = (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)))
5612, 13lmodass 18818 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋𝑉𝑌𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
571, 10, 11, 10, 56syl13anc 1325 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑋) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
5853, 55, 573eqtr3d 2663 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)))
5912, 13lmodvacl 18817 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑋𝑉) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉)
60593com23 1268 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉)
6112, 13lmodlcan 18819 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑋) ∈ 𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
621, 17, 60, 10, 61syl13anc 1325 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + (𝑋 + 𝑌)) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑋)) ↔ (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋)))
6358, 62mpbid 222 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  w3a 1036   = wceq 1480  wcel 1987  cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  Grpcgrp 17362  1rcur 18441  LModclmod 18803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-lmod 18805
This theorem is referenced by:  lmodabl  18850  lssvsubcl  18884  lssvancl2  18886  lspsolv  19083  lflsub  33873  lcfrlem21  36371  lcfrlem42  36392  mapdindp4  36531
  Copyright terms: Public domain W3C validator