MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodnegadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodnegadd 18684
Description: Distribute negation through addition of scalar products. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodnegadd.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodnegadd.p + = (+g𝑊)
lmodnegadd.t · = ( ·𝑠𝑊)
lmodnegadd.n 𝑁 = (invg𝑊)
lmodnegadd.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
lmodnegadd.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
lmodnegadd.i 𝐼 = (invg𝑅)
lmodnegadd.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lmodnegadd.a (𝜑𝐴𝐾)
lmodnegadd.b (𝜑𝐵𝐾)
lmodnegadd.x (𝜑𝑋𝑉)
lmodnegadd.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodnegadd (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼𝐴) · 𝑋) + ((𝐼𝐵) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodnegadd
StepHypRef Expression
1 lmodnegadd.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lmodabl 18682 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
4 lmodnegadd.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
5 lmodnegadd.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
6 lmodnegadd.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
7 lmodnegadd.r . . . . 5 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
8 lmodnegadd.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
9 lmodnegadd.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
106, 7, 8, 9lmodvscl 18652 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
111, 4, 5, 10syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
12 lmodnegadd.b . . . 4 (𝜑𝐵𝐾)
13 lmodnegadd.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
146, 7, 8, 9lmodvscl 18652 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐾𝑌𝑉) → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
151, 12, 13, 14syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉)
16 lmodnegadd.p . . . 4 + = (+g𝑊)
17 lmodnegadd.n . . . 4 𝑁 = (invg𝑊)
186, 16, 17ablinvadd 17987 . . 3 ((𝑊 ∈ Abel ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))))
193, 11, 15, 18syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))))
20 lmodnegadd.i . . . 4 𝐼 = (invg𝑅)
216, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 5, 4lmodvsneg 18679 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) = ((𝐼𝐴) · 𝑋))
226, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 13, 12lmodvsneg 18679 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘(𝐵 · 𝑌)) = ((𝐼𝐵) · 𝑌))
2321, 22oveq12d 6545 . 2 (𝜑 → ((𝑁‘(𝐴 · 𝑋)) + (𝑁‘(𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼𝐴) · 𝑋) + ((𝐼𝐵) · 𝑌)))
2419, 23eqtrd 2644 1 (𝜑 → (𝑁‘((𝐴 · 𝑋) + (𝐵 · 𝑌))) = (((𝐼𝐴) · 𝑋) + ((𝐼𝐵) · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15644  +gcplusg 15717  Scalarcsca 15720   ·𝑠 cvsca 15721  invgcminusg 17195  Abelcabl 17966  LModclmod 18635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4694  ax-sep 4704  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6825  ax-cnex 9849  ax-resscn 9850  ax-1cn 9851  ax-icn 9852  ax-addcl 9853  ax-addrcl 9854  ax-mulcl 9855  ax-mulrcl 9856  ax-mulcom 9857  ax-addass 9858  ax-mulass 9859  ax-distr 9860  ax-i2m1 9861  ax-1ne0 9862  ax-1rid 9863  ax-rnegex 9864  ax-rrecex 9865  ax-cnre 9866  ax-pre-lttri 9867  ax-pre-lttrn 9868  ax-pre-ltadd 9869  ax-pre-mulgt0 9870
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4368  df-iun 4452  df-br 4579  df-opab 4639  df-mpt 4640  df-tr 4676  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6936  df-wrecs 7272  df-recs 7333  df-rdg 7371  df-er 7607  df-en 7820  df-dom 7821  df-sdom 7822  df-pnf 9933  df-mnf 9934  df-xr 9935  df-ltxr 9936  df-le 9937  df-sub 10120  df-neg 10121  df-nn 10871  df-2 10929  df-ndx 15647  df-slot 15648  df-base 15649  df-sets 15650  df-plusg 15730  df-0g 15874  df-mgm 17014  df-sgrp 17056  df-mnd 17067  df-grp 17197  df-minusg 17198  df-cmn 17967  df-abl 17968  df-mgp 18262  df-ur 18274  df-ring 18321  df-lmod 18637
This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  35808
  Copyright terms: Public domain W3C validator