Theorem lmodpropd 19699

Description: If two structures have the same components (properties), one is a left module iff the other one is. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
lmodpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
lmodpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
lmodpropd.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐾))
lmodpropd.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
lmodpropd.6	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐹)
lmodpropd.7	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
lmodpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝑃,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lmodpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodpropd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		lmodpropd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		eqid 2823	. 2 ⊢ (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐾)
4		eqid 2823	. 2 ⊢ (Scalar‘𝐿) = (Scalar‘𝐿)
5		lmodpropd.6	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐹)
6		lmodpropd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐾))
7	6	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐾)))
8	5, 7	syl5eq 2870	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐾)))
9		lmodpropd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝐿))
10	9	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐹) = (Base‘(Scalar‘𝐿)))
11	5, 10	syl5eq 2870	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 = (Base‘(Scalar‘𝐿)))
12		lmodpropd.3	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
13	6, 9	eqtr3d 2860	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐿))
14	13	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (Scalar‘𝐾) = (Scalar‘𝐿))
15	14	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (+g‘(Scalar‘𝐾)) = (+g‘(Scalar‘𝐿)))
16	15	oveqd 7175	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(Scalar‘𝐿))𝑦))
17	14	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (.r‘(Scalar‘𝐾)) = (.r‘(Scalar‘𝐿)))
18	17	oveqd 7175	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝑃)) → (𝑥(.r‘(Scalar‘𝐾))𝑦) = (𝑥(.r‘(Scalar‘𝐿))𝑦))
19		lmodpropd.7	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝐾)𝑦) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝐿)𝑦))
20	1, 2, 3, 4, 8, 11, 12, 16, 18, 19	lmodprop2d 19698	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ LMod ↔ 𝐿 ∈ LMod))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  ._rcmulr 16568  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  LModclmod 19636

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-grp 18108  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-lmod 19638

This theorem is referenced by:  lmhmpropd  19847  lvecpropd  19941  assapropd  20103  opsrlmod  20416  matlmod  21040