Theorem lmodsca 16220

Description: The set of scalars of a constructed left vector space. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lvecfn.w	⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})

Assertion

Ref	Expression
lmodsca	⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))

Proof of Theorem lmodsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecfn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
2	1	lmodstr 16217	. 2 ⊢ 𝑊 Struct ⟨1, 6⟩
3		scaid 16214	. 2 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
4		snsstp3 4492	. . 3 ⊢ {⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ⊆ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩}
5		ssun1 3917	. . . 4 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ⊆ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ∪ {⟨( ·𝑠 ‘ndx), · ⟩})
6	5, 1	sseqtr4i 3777	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ⊆ 𝑊
7	4, 6	sstri 3751	. 2 ⊢ {⟨(Scalar‘ndx), 𝐹⟩} ⊆ 𝑊
8	2, 3, 7	strfv 16107	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑋 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1630   ∈ wcel 2137   ∪ cun 3711  {csn 4319  {ctp 4323  ⟨cop 4325  ‘cfv 6047  1c1 10127  6c6 11264  ndxcnx 16054  Basecbs 16057  +_gcplusg 16141  Scalarcsca 16144   ·_𝑠 cvsca 16145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-1o 7727  df-oadd 7731  df-er 7909  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-2 11269  df-3 11270  df-4 11271  df-5 11272  df-6 11273  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-fz 12518  df-struct 16059  df-ndx 16060  df-slot 16061  df-base 16063  df-plusg 16154  df-sca 16157  df-vsca 16158

This theorem is referenced by:  cnlmodlem3  23136  cnstrcvs  23139  ldualsca  34920  dvasca  36794  dvhsca  36871  lmod1lem3  42786  lmod1lem4  42787  lmod1lem5  42788  lmod1  42789  lmod1zrnlvec  42791