Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsubvs 18859
 Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubvs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubvs.p + = (+g𝑊)
lmodsubvs.m = (-g𝑊)
lmodsubvs.t · = ( ·𝑠𝑊)
lmodsubvs.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubvs.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubvs.n 𝑁 = (invg𝐹)
lmodsubvs.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lmodsubvs.a (𝜑𝐴𝐾)
lmodsubvs.x (𝜑𝑋𝑉)
lmodsubvs.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubvs (𝜑 → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁𝐴) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubvs
StepHypRef Expression
1 lmodsubvs.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lmodsubvs.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3 lmodsubvs.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
4 lmodsubvs.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
5 lmodsubvs.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 lmodsubvs.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7 lmodsubvs.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
8 lmodsubvs.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
95, 6, 7, 8lmodvscl 18820 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑌𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
101, 3, 4, 9syl3anc 1323 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
11 lmodsubvs.p . . . 4 + = (+g𝑊)
12 lmodsubvs.m . . . 4 = (-g𝑊)
13 lmodsubvs.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐹)
14 eqid 2621 . . . 4 (1r𝐹) = (1r𝐹)
155, 11, 12, 6, 7, 13, 14lmodvsubval2 18858 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
161, 2, 10, 15syl3anc 1323 . 2 (𝜑 → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
176lmodring 18811 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
181, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
19 ringgrp 18492 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
218, 14ringidcl 18508 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
2218, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
238, 13grpinvcl 17407 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑁‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
2420, 22, 23syl2anc 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
25 eqid 2621 . . . . . 6 (.r𝐹) = (.r𝐹)
265, 6, 7, 8, 25lmodvsass 18828 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝐴𝐾𝑌𝑉)) → (((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
271, 24, 3, 4, 26syl13anc 1325 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
288, 25, 14, 13, 18, 3ringnegl 18534 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) = (𝑁𝐴))
2928oveq1d 6630 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁𝐴) · 𝑌))
3027, 29eqtr3d 2657 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)) = ((𝑁𝐴) · 𝑌))
3130oveq2d 6631 . 2 (𝜑 → (𝑋 + ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))) = (𝑋 + ((𝑁𝐴) · 𝑌)))
3216, 31eqtrd 2655 1 (𝜑 → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁𝐴) · 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1480   ∈ wcel 1987  ‘cfv 5857  (class class class)co 6615  Basecbs 15800  +gcplusg 15881  .rcmulr 15882  Scalarcsca 15884   ·𝑠 cvsca 15885  Grpcgrp 17362  invgcminusg 17363  -gcsg 17364  1rcur 18441  Ringcrg 18487  LModclmod 18803 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4741  ax-sep 4751  ax-nul 4759  ax-pow 4813  ax-pr 4877  ax-un 6914  ax-cnex 9952  ax-resscn 9953  ax-1cn 9954  ax-icn 9955  ax-addcl 9956  ax-addrcl 9957  ax-mulcl 9958  ax-mulrcl 9959  ax-mulcom 9960  ax-addass 9961  ax-mulass 9962  ax-distr 9963  ax-i2m1 9964  ax-1ne0 9965  ax-1rid 9966  ax-rnegex 9967  ax-rrecex 9968  ax-cnre 9969  ax-pre-lttri 9970  ax-pre-lttrn 9971  ax-pre-ltadd 9972  ax-pre-mulgt0 9973 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2913  df-rex 2914  df-reu 2915  df-rmo 2916  df-rab 2917  df-v 3192  df-sbc 3423  df-csb 3520  df-dif 3563  df-un 3565  df-in 3567  df-ss 3574  df-pss 3576  df-nul 3898  df-if 4065  df-pw 4138  df-sn 4156  df-pr 4158  df-tp 4160  df-op 4162  df-uni 4410  df-iun 4494  df-br 4624  df-opab 4684  df-mpt 4685  df-tr 4723  df-eprel 4995  df-id 4999  df-po 5005  df-so 5006  df-fr 5043  df-we 5045  df-xp 5090  df-rel 5091  df-cnv 5092  df-co 5093  df-dm 5094  df-rn 5095  df-res 5096  df-ima 5097  df-pred 5649  df-ord 5695  df-on 5696  df-lim 5697  df-suc 5698  df-iota 5820  df-fun 5859  df-fn 5860  df-f 5861  df-f1 5862  df-fo 5863  df-f1o 5864  df-fv 5865  df-riota 6576  df-ov 6618  df-oprab 6619  df-mpt2 6620  df-om 7028  df-1st 7128  df-2nd 7129  df-wrecs 7367  df-recs 7428  df-rdg 7466  df-er 7702  df-en 7916  df-dom 7917  df-sdom 7918  df-pnf 10036  df-mnf 10037  df-xr 10038  df-ltxr 10039  df-le 10040  df-sub 10228  df-neg 10229  df-nn 10981  df-2 11039  df-ndx 15803  df-slot 15804  df-base 15805  df-sets 15806  df-plusg 15894  df-0g 16042  df-mgm 17182  df-sgrp 17224  df-mnd 17235  df-grp 17365  df-minusg 17366  df-sbg 17367  df-mgp 18430  df-ur 18442  df-ring 18489  df-lmod 18805 This theorem is referenced by:  lspexch  19069  baerlem5alem1  36516  baerlem5blem1  36517
 Copyright terms: Public domain W3C validator