Theorem lmodvacl 19642

Description: Closure of vector addition for a left module. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvacl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvacl.a	⊢ + = (+g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvacl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvacl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 19635	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodvacl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodvacl.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑊)
4	2, 3	grpcl 18105	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl3an1 1159	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  +_gcplusg 16559  Grpcgrp 18097  LModclmod 19628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-nul 5202

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-iota 6308  df-fv 6357  df-ov 7153  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-lmod 19630

This theorem is referenced by:  lmodcom  19674  lmodvsghm  19689  lss1  19704  lspprabs  19861  lspabs2  19886  lspabs3  19887  lspfixed  19894  lspexch  19895  lspsolvlem  19908  ipdir  20777  ipdi  20778  ip2di  20779  ocvlss  20810  frlmphl  20919  frlmup1  20936  nmparlem  23836  minveclem2  24023  lsatfixedN  36139  lfl0f  36199  lfladdcl  36201  lflnegcl  36205  lflvscl  36207  lkrlss  36225  lshpkrlem5  36244  lshpkrlem6  36245  dvh3dim2  38578  dvh3dim3N  38579  lcfrlem17  38689  lcfrlem19  38691  lcfrlem20  38692  lcfrlem23  38695  baerlem3lem1  38837  baerlem5alem1  38838  baerlem5blem1  38839  baerlem5alem2  38841  baerlem5blem2  38842  mapdindp0  38849  mapdindp2  38851  mapdindp4  38853  mapdh6lem2N  38864  mapdh6aN  38865  mapdh6dN  38869  mapdh6eN  38870  mapdh6hN  38873  hdmap1l6lem2  38938  hdmap1l6a  38939  hdmap1l6d  38943  hdmap1l6e  38944  hdmap1l6h  38947  hdmap11lem1  38971  hdmap11lem2  38972  hdmapneg  38976  hdmaprnlem3N  38980  hdmaprnlem3uN  38981  hdmaprnlem6N  38984  hdmaprnlem7N  38985  hdmaprnlem9N  38987  hdmaprnlem3eN  38988  hdmap14lem10  39007  hdmapinvlem3  39050  hdmapinvlem4  39051  hdmapglem7b  39058  hlhilphllem  39089  frlmsnic  39142  lincsumcl  44480