MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvnegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvnegcl 19604
Description: Closure of vector negative. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvnegcl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvnegcl.n 𝑁 = (invg𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodvnegcl ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvnegcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 19570 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 lmodvnegcl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lmodvnegcl.n . . 3 𝑁 = (invg𝑊)
42, 3grpinvcl 18089 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑉)
51, 4sylan 580 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁𝑋) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  Basecbs 16471  Grpcgrp 18041  invgcminusg 18042  LModclmod 19563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-lmod 19565
This theorem is referenced by:  lmodvneg1  19606  lspsnneg  19707  lspsntrim  19799  baerlem5amN  38732  baerlem5bmN  38733  baerlem5abmN  38734  hdmapneg  38862  hdmapsub  38863
  Copyright terms: Public domain W3C validator