MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvpncan Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvpncan 18685
Description: Addition/subtraction cancellation law for vectors. (hvpncan 27086 analog.) (Contributed by NM, 16-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmod4.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmod4.p + = (+g𝑊)
lmodvaddsub4.m = (-g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodvpncan ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴 + 𝐵) 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem lmodvpncan
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 18639 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 lmod4.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lmod4.p . . 3 + = (+g𝑊)
4 lmodvaddsub4.m . . 3 = (-g𝑊)
52, 3, 4grppncan 17275 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴 + 𝐵) 𝐵) = 𝐴)
61, 5syl3an1 1350 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑉𝐵𝑉) → ((𝐴 + 𝐵) 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  Grpcgrp 17191  -gcsg 17193  LModclmod 18632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-id 4943  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-minusg 17195  df-sbg 17196  df-lmod 18634
This theorem is referenced by:  lspsolv  18910
  Copyright terms: Public domain W3C validator