MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvs0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvs0 19599
Description: Anything times the zero vector is the zero vector. Equation 1b of [Kreyszig] p. 51. (hvmul0 28729 analog.) (Contributed by NM, 12-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvs0.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvs0.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvs0.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvs0.z 0 = (0g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodvs0 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋 · 0 ) = 0 )

Proof of Theorem lmodvs0
StepHypRef Expression
1 lmodvs0.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
21lmodring 19573 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
3 lmodvs0.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
4 eqid 2821 . . . . 5 (.r𝐹) = (.r𝐹)
5 eqid 2821 . . . . 5 (0g𝐹) = (0g𝐹)
63, 4, 5ringrz 19269 . . . 4 ((𝐹 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) = (0g𝐹))
72, 6sylan 580 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) = (0g𝐹))
87oveq1d 7160 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → ((𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) · 0 ) = ((0g𝐹) · 0 ))
9 simpl 483 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → 𝑊 ∈ LMod)
10 simpr 485 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → 𝑋𝐾)
112adantr 481 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → 𝐹 ∈ Ring)
123, 5ring0cl 19250 . . . . 5 (𝐹 ∈ Ring → (0g𝐹) ∈ 𝐾)
1311, 12syl 17 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (0g𝐹) ∈ 𝐾)
14 eqid 2821 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
15 lmodvs0.z . . . . . 6 0 = (0g𝑊)
1614, 15lmod0vcl 19594 . . . . 5 (𝑊 ∈ LMod → 0 ∈ (Base‘𝑊))
1716adantr 481 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → 0 ∈ (Base‘𝑊))
18 lmodvs0.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
1914, 1, 18, 3, 4lmodvsass 19590 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐾 ∧ (0g𝐹) ∈ 𝐾0 ∈ (Base‘𝑊))) → ((𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · ((0g𝐹) · 0 )))
209, 10, 13, 17, 19syl13anc 1364 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → ((𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · ((0g𝐹) · 0 )))
2114, 1, 18, 5, 15lmod0vs 19598 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 0 ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g𝐹) · 0 ) = 0 )
2217, 21syldan 591 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → ((0g𝐹) · 0 ) = 0 )
2322oveq2d 7161 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋 · ((0g𝐹) · 0 )) = (𝑋 · 0 ))
2420, 23eqtrd 2856 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → ((𝑋(.r𝐹)(0g𝐹)) · 0 ) = (𝑋 · 0 ))
258, 24, 223eqtr3d 2864 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋 · 0 ) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6349  (class class class)co 7145  Basecbs 16473  .rcmulr 16556  Scalarcsca 16558   ·𝑠 cvsca 16559  0gc0g 16703  Ringcrg 19228  LModclmod 19565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7569  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-plusg 16568  df-0g 16705  df-mgm 17842  df-sgrp 17891  df-mnd 17902  df-grp 18046  df-mgp 19171  df-ring 19230  df-lmod 19567
This theorem is referenced by:  lmodfopne  19603  lsssn0  19650  lmodvsinv2  19740  0lmhm  19743  lvecvs0or  19811  dsmmlss  20818  pmatcollpwfi  21320  pmatcollpw3fi1lem1  21324  pm2mp  21363  chfacfscmul0  21396  ttgbtwnid  26598  0nellinds  30863  lcdvs0N  38634  hdmap14lem13  38898  lmodvsmdi  44328  linc0scn0  44376
  Copyright terms: Public domain W3C validator