MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsdi 19586
Description: Distributive law for scalar product (left-distributivity). (ax-hvdistr1 28712 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsdi.a + = (+g𝑊)
lmodvsdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsdi.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsdi ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodvsdi
StepHypRef Expression
1 lmodvsdi.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lmodvsdi.a . . . . . . . . 9 + = (+g𝑊)
3 lmodvsdi.s . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑊)
4 lmodvsdi.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5 lmodvsdi.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝐹)
6 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (+g𝐹) = (+g𝐹)
7 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (.r𝐹) = (.r𝐹)
8 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (1r𝐹) = (1r𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmodlema 19568 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑌𝑉𝑋𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)) ∧ ((𝑅(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑅(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = (𝑅 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
109simpld 495 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑌𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)) ∧ ((𝑅(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))
1110simp2d 1135 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑌𝑉𝑋𝑉)) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)))
12113expia 1113 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑅𝐾)) → ((𝑌𝑉𝑋𝑉) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))
1312anabsan2 670 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾) → ((𝑌𝑉𝑋𝑉) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))
1413exp4b 431 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑅𝐾 → (𝑌𝑉 → (𝑋𝑉 → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))))
1514com34 91 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑅𝐾 → (𝑋𝑉 → (𝑌𝑉 → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))))
16153imp2 1341 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  1rcur 19180  LModclmod 19563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-nul 5201
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-iota 6307  df-fv 6356  df-ov 7148  df-lmod 19565
This theorem is referenced by:  lmodcom  19609  lmodsubdi  19620  lmodvsghm  19624  islss3  19660  prdslmodd  19670  lmodvsinv2  19738  lmhmplusg  19745  lsmcl  19784  pj1lmhm  19801  lspfixed  19829  lspsolvlem  19843  clmvsdi  23623  cvsi  23661  eqgvscpbl  30846  imaslmod  30849  lshpkrlem4  36129  baerlem5alem1  38724  baerlem5blem1  38725  hdmap14lem8  38891  mendlmod  39671  lmodvsmdi  44358
  Copyright terms: Public domain W3C validator