Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmodvsmdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsmdi 42062
Description: Multiple distributive law for scalar product (left-distributivity). (Contributed by AV, 5-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsmdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsmdi.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsmdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsmdi.p = (.g𝑊)
lmodvsmdi.e 𝐸 = (.g𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsmdi ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsmdi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6433 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥 𝑋) = (0 𝑋))
21oveq2d 6442 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = (𝑅 · (0 𝑋)))
3 oveq1 6433 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝑅) = (0𝐸𝑅))
43oveq1d 6441 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
52, 4eqeq12d 2529 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (0 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋)))
65imbi2d 328 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))))
7 oveq1 6433 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 𝑋) = (𝑦 𝑋))
87oveq2d 6442 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = (𝑅 · (𝑦 𝑋)))
9 oveq1 6433 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑦𝐸𝑅))
109oveq1d 6441 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))
118, 10eqeq12d 2529 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)))
1211imbi2d 328 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋))))
13 oveq1 6433 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 𝑋) = ((𝑦 + 1) 𝑋))
1413oveq2d 6442 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)))
15 oveq1 6433 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
1615oveq1d 6441 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
1714, 16eqeq12d 2529 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋)))
1817imbi2d 328 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
19 oveq1 6433 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 𝑋) = (𝑁 𝑋))
2019oveq2d 6442 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁 𝑋)))
21 oveq1 6433 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝑅) = (𝑁𝐸𝑅))
2221oveq1d 6441 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))
2320, 22eqeq12d 2529 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋) ↔ (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
2423imbi2d 328 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑥 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝑅) · 𝑋)) ↔ (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))))
25 simpr 475 . . . . . . . . . 10 ((𝑅𝐾𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
2625adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑋𝑉)
27 lmodvsmdi.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Base‘𝑊)
28 eqid 2514 . . . . . . . . . 10 (0g𝑊) = (0g𝑊)
29 lmodvsmdi.p . . . . . . . . . 10 = (.g𝑊)
3027, 28, 29mulg0 17261 . . . . . . . . 9 (𝑋𝑉 → (0 𝑋) = (0g𝑊))
3126, 30syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 𝑋) = (0g𝑊))
3231oveq2d 6442 . . . . . . 7 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 𝑋)) = (𝑅 · (0g𝑊)))
33 simpl 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅𝐾𝑋𝑉) → 𝑅𝐾)
3433anim1i 589 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅𝐾𝑊 ∈ LMod))
3534ancomd 465 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾))
36 lmodvsmdi.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
37 lmodvsmdi.s . . . . . . . . . 10 · = ( ·𝑠𝑊)
38 lmodvsmdi.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐹)
3936, 37, 38, 28lmodvs0 18627 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾) → (𝑅 · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
4035, 39syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g𝑊)) = (0g𝑊))
4125anim1i 589 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑋𝑉𝑊 ∈ LMod))
4241ancomd 465 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉))
43 eqid 2514 . . . . . . . . . 10 (0g𝐹) = (0g𝐹)
4427, 36, 37, 43, 28lmod0vs 18626 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
4633adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑅𝐾)
47 lmodvsmdi.e . . . . . . . . . . . 12 𝐸 = (.g𝐹)
4838, 43, 47mulg0 17261 . . . . . . . . . . 11 (𝑅𝐾 → (0𝐸𝑅) = (0g𝐹))
4948eqcomd 2520 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝐾 → (0g𝐹) = (0𝐸𝑅))
5046, 49syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0g𝐹) = (0𝐸𝑅))
5150oveq1d 6441 . . . . . . . 8 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g𝐹) · 𝑋) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
5240, 45, 513eqtr2d 2554 . . . . . . 7 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0g𝑊)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
5332, 52eqtrd 2548 . . . . . 6 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (0 𝑋)) = ((0𝐸𝑅) · 𝑋))
54 lmodgrp 18600 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
55 grpmnd 17144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
5654, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Mnd)
5756ad2antll 760 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ Mnd)
58 simpl 471 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
5926adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑋𝑉)
60 eqid 2514 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝑊) = (+g𝑊)
6127, 29, 60mulgnn0p1 17267 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → ((𝑦 + 1) 𝑋) = ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋))
6257, 58, 59, 61syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1) 𝑋) = ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋))
6362oveq2d 6442 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (𝑅 · ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋)))
64 simpr 475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑊 ∈ LMod)
6564adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ LMod)
66 simprll 797 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑅𝐾)
6727, 29mulgnn0cl 17273 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝑦 𝑋) ∈ 𝑉)
6857, 58, 59, 67syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦 𝑋) ∈ 𝑉)
6927, 60, 36, 37, 38lmodvsdi 18616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾 ∧ (𝑦 𝑋) ∈ 𝑉𝑋𝑉)) → (𝑅 · ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 𝑋))(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
7065, 66, 68, 59, 69syl13anc 1319 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 𝑋)(+g𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 𝑋))(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
7163, 70eqtrd 2548 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = ((𝑅 · (𝑦 𝑋))(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
72 oveq1 6433 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → ((𝑅 · (𝑦 𝑋))(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
7371, 72sylan9eq 2568 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
7436lmodfgrp 18602 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
75 grpmnd 17144 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐹 ∈ Grp → 𝐹 ∈ Mnd)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Mnd)
7776ad2antll 760 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐹 ∈ Mnd)
7838, 47mulgnn0cl 17273 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑅𝐾) → (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
7977, 58, 66, 78syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾)
80 eqid 2514 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐹) = (+g𝐹)
8127, 60, 36, 37, 38, 80lmodvsdir 18617 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝑅) ∈ 𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
8265, 79, 66, 59, 81syl13anc 1319 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)))
8338, 47, 80mulgnn0p1 17267 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝑅𝐾) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅))
8477, 58, 66, 83syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝑅) = ((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅))
8584eqcomd 2520 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅) = ((𝑦 + 1)𝐸𝑅))
8685oveq1d 6441 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅)(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
8782, 86eqtr3d 2550 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
8887adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
8973, 88eqtrd 2548 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))
9089exp31 627 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
9190a2d 29 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑦 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝑅) · 𝑋)) → (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · ((𝑦 + 1) 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝑅) · 𝑋))))
926, 12, 18, 24, 53, 91nn0ind 11212 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑅𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
9392exp4c 633 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑅𝐾 → (𝑋𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
9493com12 32 . . 3 (𝑅𝐾 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))))
95943imp 1248 . 2 ((𝑅𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋)))
9695impcom 444 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉)) → (𝑅 · (𝑁 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝑅) · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1938  cfv 5689  (class class class)co 6426  0cc0 9691  1c1 9692   + caddc 9694  0cn0 11047  Basecbs 15579  +gcplusg 15652  Scalarcsca 15655   ·𝑠 cvsca 15656  0gc0g 15807  Mndcmnd 17009  Grpcgrp 17137  .gcmg 17255  LModclmod 18593
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1700  ax-4 1713  ax-5 1793  ax-6 1838  ax-7 1885  ax-8 1940  ax-9 1947  ax-10 1966  ax-11 1971  ax-12 1983  ax-13 2137  ax-ext 2494  ax-rep 4597  ax-sep 4607  ax-nul 4616  ax-pow 4668  ax-pr 4732  ax-un 6723  ax-inf2 8297  ax-cnex 9747  ax-resscn 9748  ax-1cn 9749  ax-icn 9750  ax-addcl 9751  ax-addrcl 9752  ax-mulcl 9753  ax-mulrcl 9754  ax-mulcom 9755  ax-addass 9756  ax-mulass 9757  ax-distr 9758  ax-i2m1 9759  ax-1ne0 9760  ax-1rid 9761  ax-rnegex 9762  ax-rrecex 9763  ax-cnre 9764  ax-pre-lttri 9765  ax-pre-lttrn 9766  ax-pre-ltadd 9767  ax-pre-mulgt0 9768
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1699  df-sb 1831  df-eu 2366  df-mo 2367  df-clab 2501  df-cleq 2507  df-clel 2510  df-nfc 2644  df-ne 2686  df-nel 2687  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3079  df-sbc 3307  df-csb 3404  df-dif 3447  df-un 3449  df-in 3451  df-ss 3458  df-pss 3460  df-nul 3778  df-if 3940  df-pw 4013  df-sn 4029  df-pr 4031  df-tp 4033  df-op 4035  df-uni 4271  df-iun 4355  df-br 4482  df-opab 4542  df-mpt 4543  df-tr 4579  df-eprel 4843  df-id 4847  df-po 4853  df-so 4854  df-fr 4891  df-we 4893  df-xp 4938  df-rel 4939  df-cnv 4940  df-co 4941  df-dm 4942  df-rn 4943  df-res 4944  df-ima 4945  df-pred 5487  df-ord 5533  df-on 5534  df-lim 5535  df-suc 5536  df-iota 5653  df-fun 5691  df-fn 5692  df-f 5693  df-f1 5694  df-fo 5695  df-f1o 5696  df-fv 5697  df-riota 6388  df-ov 6429  df-oprab 6430  df-mpt2 6431  df-om 6834  df-1st 6934  df-2nd 6935  df-wrecs 7169  df-recs 7231  df-rdg 7269  df-er 7505  df-en 7718  df-dom 7719  df-sdom 7720  df-pnf 9831  df-mnf 9832  df-xr 9833  df-ltxr 9834  df-le 9835  df-sub 10019  df-neg 10020  df-nn 10776  df-2 10834  df-n0 11048  df-z 11119  df-uz 11428  df-fz 12066  df-seq 12532  df-ndx 15582  df-slot 15583  df-base 15584  df-sets 15585  df-plusg 15665  df-0g 15809  df-mgm 16957  df-sgrp 16999  df-mnd 17010  df-grp 17140  df-mulg 17256  df-mgp 18220  df-ring 18279  df-lmod 18595
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator