MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsmmulgdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsmmulgdi 18667
Description: Distributive law for a group multiple of a scalar multiplication. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsmmulgdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsmmulgdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsmmulgdi.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsmmulgdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsmmulgdi.p = (.g𝑊)
lmodvsmmulgdi.e 𝐸 = (.g𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsmmulgdi ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉)) → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋))

Proof of Theorem lmodvsmmulgdi
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 6534 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = (0 (𝐶 · 𝑋)))
2 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 0 → (𝑥𝐸𝐶) = (0𝐸𝐶))
32oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝑥 = 0 → ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) = ((0𝐸𝐶) · 𝑋))
41, 3eqeq12d 2624 . . . . . . 7 (𝑥 = 0 → ((𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) ↔ (0 (𝐶 · 𝑋)) = ((0𝐸𝐶) · 𝑋)))
54imbi2d 328 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → ((((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋)) ↔ (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 (𝐶 · 𝑋)) = ((0𝐸𝐶) · 𝑋))))
6 oveq1 6534 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = (𝑦 (𝐶 · 𝑋)))
7 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐸𝐶) = (𝑦𝐸𝐶))
87oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋))
96, 8eqeq12d 2624 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) ↔ (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)))
109imbi2d 328 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋)) ↔ (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋))))
11 oveq1 6534 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)))
12 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝐸𝐶) = ((𝑦 + 1)𝐸𝐶))
1312oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
1411, 13eqeq12d 2624 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) ↔ ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋)))
1514imbi2d 328 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋)) ↔ (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))))
16 oveq1 6534 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = (𝑁 (𝐶 · 𝑋)))
17 oveq1 6534 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑁 → (𝑥𝐸𝐶) = (𝑁𝐸𝐶))
1817oveq1d 6542 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋))
1916, 18eqeq12d 2624 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋) ↔ (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))
2019imbi2d 328 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑁 → ((((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑥 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑥𝐸𝐶) · 𝑋)) ↔ (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋))))
21 simpr 475 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑊 ∈ LMod)
22 simpr 475 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐾𝑋𝑉) → 𝑋𝑉)
2322adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑋𝑉)
24 lmodvsmmulgdi.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
25 lmodvsmmulgdi.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
26 lmodvsmmulgdi.s . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑊)
27 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (0g𝐹) = (0g𝐹)
28 eqid 2609 . . . . . . . . 9 (0g𝑊) = (0g𝑊)
2924, 25, 26, 27, 28lmod0vs 18665 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
3021, 23, 29syl2anc 690 . . . . . . 7 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0g𝐹) · 𝑋) = (0g𝑊))
31 simpl 471 . . . . . . . . . 10 ((𝐶𝐾𝑋𝑉) → 𝐶𝐾)
3231adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝐶𝐾)
33 lmodvsmmulgdi.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = (Base‘𝐹)
34 lmodvsmmulgdi.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (.g𝐹)
3533, 27, 34mulg0 17315 . . . . . . . . 9 (𝐶𝐾 → (0𝐸𝐶) = (0g𝐹))
3632, 35syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0𝐸𝐶) = (0g𝐹))
3736oveq1d 6542 . . . . . . 7 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((0𝐸𝐶) · 𝑋) = ((0g𝐹) · 𝑋))
3824, 25, 26, 33lmodvscl 18649 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐶𝐾𝑋𝑉) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉)
3921, 32, 23, 38syl3anc 1317 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉)
40 lmodvsmmulgdi.p . . . . . . . . 9 = (.g𝑊)
4124, 28, 40mulg0 17315 . . . . . . . 8 ((𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉 → (0 (𝐶 · 𝑋)) = (0g𝑊))
4239, 41syl 17 . . . . . . 7 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 (𝐶 · 𝑋)) = (0g𝑊))
4330, 37, 423eqtr4rd 2654 . . . . . 6 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (0 (𝐶 · 𝑋)) = ((0𝐸𝐶) · 𝑋))
44 lmodgrp 18639 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
45 grpmnd 17198 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Grp → 𝑊 ∈ Mnd)
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Mnd)
4746adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝑊 ∈ Mnd)
4847adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ Mnd)
49 simpl 471 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑦 ∈ ℕ0)
5039adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉)
51 eqid 2609 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝑊) = (+g𝑊)
5224, 40, 51mulgnn0p1 17321 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · 𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦 (𝐶 · 𝑋))(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
5348, 49, 50, 52syl3anc 1317 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦 (𝐶 · 𝑋))(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
5453adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦 (𝐶 · 𝑋))(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
55 oveq1 6534 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋) → ((𝑦 (𝐶 · 𝑋))(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
5621adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ LMod)
5725lmodring 18640 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
58 ringmnd 18325 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Mnd)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Mnd)
6059adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → 𝐹 ∈ Mnd)
6160adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐹 ∈ Mnd)
62 simprll 797 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝐶𝐾)
6333, 34mulgnn0cl 17327 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐶𝐾) → (𝑦𝐸𝐶) ∈ 𝐾)
6461, 49, 62, 63syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (𝑦𝐸𝐶) ∈ 𝐾)
6523adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → 𝑋𝑉)
66 eqid 2609 . . . . . . . . . . . . 13 (+g𝐹) = (+g𝐹)
6724, 51, 25, 26, 33, 66lmodvsdir 18656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑦𝐸𝐶) ∈ 𝐾𝐶𝐾𝑋𝑉)) → (((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
6856, 64, 62, 65, 67syl13anc 1319 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶) · 𝑋) = (((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)))
6933, 34, 66mulgnn0p1 17321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0𝐶𝐾) → ((𝑦 + 1)𝐸𝐶) = ((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶))
7061, 49, 62, 69syl3anc 1317 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦 + 1)𝐸𝐶) = ((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶))
7170eqcomd 2615 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → ((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶) = ((𝑦 + 1)𝐸𝐶))
7271oveq1d 6542 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝐶)(+g𝐹)𝐶) · 𝑋) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
7368, 72eqtr3d 2645 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) → (((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
7455, 73sylan9eqr 2665 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)) → ((𝑦 (𝐶 · 𝑋))(+g𝑊)(𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
7554, 74eqtrd 2643 . . . . . . . 8 (((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ ((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod)) ∧ (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))
7675exp31 627 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ℕ0 → (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))))
7776a2d 29 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℕ0 → ((((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑦 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑦𝐸𝐶) · 𝑋)) → (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → ((𝑦 + 1) (𝐶 · 𝑋)) = (((𝑦 + 1)𝐸𝐶) · 𝑋))))
785, 10, 15, 20, 43, 77nn0ind 11304 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝐶𝐾𝑋𝑉) ∧ 𝑊 ∈ LMod) → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))
7978exp4c 633 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐶𝐾 → (𝑋𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))))
8079com12 32 . . 3 (𝐶𝐾 → (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑋𝑉 → (𝑊 ∈ LMod → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))))
81803imp 1248 . 2 ((𝐶𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉) → (𝑊 ∈ LMod → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋)))
8281impcom 444 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐶𝐾𝑁 ∈ ℕ0𝑋𝑉)) → (𝑁 (𝐶 · 𝑋)) = ((𝑁𝐸𝐶) · 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1030   = wceq 1474  wcel 1976  cfv 5790  (class class class)co 6527  0cc0 9792  1c1 9793   + caddc 9795  0cn0 11139  Basecbs 15641  +gcplusg 15714  Scalarcsca 15717   ·𝑠 cvsca 15718  0gc0g 15869  Mndcmnd 17063  Grpcgrp 17191  .gcmg 17309  Ringcrg 18316  LModclmod 18632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2033  ax-13 2233  ax-ext 2589  ax-rep 4693  ax-sep 4703  ax-nul 4712  ax-pow 4764  ax-pr 4828  ax-un 6824  ax-inf2 8398  ax-cnex 9848  ax-resscn 9849  ax-1cn 9850  ax-icn 9851  ax-addcl 9852  ax-addrcl 9853  ax-mulcl 9854  ax-mulrcl 9855  ax-mulcom 9856  ax-addass 9857  ax-mulass 9858  ax-distr 9859  ax-i2m1 9860  ax-1ne0 9861  ax-1rid 9862  ax-rnegex 9863  ax-rrecex 9864  ax-cnre 9865  ax-pre-lttri 9866  ax-pre-lttrn 9867  ax-pre-ltadd 9868  ax-pre-mulgt0 9869
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2461  df-mo 2462  df-clab 2596  df-cleq 2602  df-clel 2605  df-nfc 2739  df-ne 2781  df-nel 2782  df-ral 2900  df-rex 2901  df-reu 2902  df-rmo 2903  df-rab 2904  df-v 3174  df-sbc 3402  df-csb 3499  df-dif 3542  df-un 3544  df-in 3546  df-ss 3553  df-pss 3555  df-nul 3874  df-if 4036  df-pw 4109  df-sn 4125  df-pr 4127  df-tp 4129  df-op 4131  df-uni 4367  df-iun 4451  df-br 4578  df-opab 4638  df-mpt 4639  df-tr 4675  df-eprel 4939  df-id 4943  df-po 4949  df-so 4950  df-fr 4987  df-we 4989  df-xp 5034  df-rel 5035  df-cnv 5036  df-co 5037  df-dm 5038  df-rn 5039  df-res 5040  df-ima 5041  df-pred 5583  df-ord 5629  df-on 5630  df-lim 5631  df-suc 5632  df-iota 5754  df-fun 5792  df-fn 5793  df-f 5794  df-f1 5795  df-fo 5796  df-f1o 5797  df-fv 5798  df-riota 6489  df-ov 6530  df-oprab 6531  df-mpt2 6532  df-om 6935  df-1st 7036  df-2nd 7037  df-wrecs 7271  df-recs 7332  df-rdg 7370  df-er 7606  df-en 7819  df-dom 7820  df-sdom 7821  df-pnf 9932  df-mnf 9933  df-xr 9934  df-ltxr 9935  df-le 9936  df-sub 10119  df-neg 10120  df-nn 10868  df-n0 11140  df-z 11211  df-uz 11520  df-fz 12153  df-seq 12619  df-0g 15871  df-mgm 17011  df-sgrp 17053  df-mnd 17064  df-grp 17194  df-mulg 17310  df-ring 18318  df-lmod 18634
This theorem is referenced by:  chpscmatgsummon  20411
  Copyright terms: Public domain W3C validator