MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmres Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmres 20853
Description: A function converges iff its restriction to an upper integers set converges. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Dec-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lmres.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
lmres.4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
lmres.5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
Assertion
Ref Expression
lmres (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))(⇝𝑡𝐽)𝑃))

Proof of Theorem lmres
Dummy variables 𝑗 𝑘 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmres.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
2 toponmax 20482 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) → 𝑋𝐽)
31, 2syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐽)
4 cnex 9870 . . . . . 6 ℂ ∈ V
5 ssid 3583 . . . . . . 7 𝑋𝑋
6 uzssz 11536 . . . . . . . 8 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
7 zsscn 11215 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℂ
86, 7sstri 3573 . . . . . . 7 (ℤ𝑀) ⊆ ℂ
9 pmss12g 7744 . . . . . . 7 (((𝑋𝑋 ∧ (ℤ𝑀) ⊆ ℂ) ∧ (𝑋𝐽 ∧ ℂ ∈ V)) → (𝑋pm (ℤ𝑀)) ⊆ (𝑋pm ℂ))
105, 8, 9mpanl12 713 . . . . . 6 ((𝑋𝐽 ∧ ℂ ∈ V) → (𝑋pm (ℤ𝑀)) ⊆ (𝑋pm ℂ))
113, 4, 10sylancl 692 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋pm (ℤ𝑀)) ⊆ (𝑋pm ℂ))
12 fvex 6095 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ∈ V
13 lmres.4 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ))
14 pmresg 7745 . . . . . 6 (((ℤ𝑀) ∈ V ∧ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)) → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm (ℤ𝑀)))
1512, 13, 14sylancr 693 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm (ℤ𝑀)))
1611, 15sseldd 3565 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ))
1716, 132thd 253 . . 3 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ)))
18 eqid 2606 . . . . . . . . . 10 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
1918uztrn2 11534 . . . . . . . . 9 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
20 dmres 5323 . . . . . . . . . . . 12 dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) = ((ℤ𝑀) ∩ dom 𝐹)
2120elin2 3759 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ↔ (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
2221baib 941 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ↔ 𝑘 ∈ dom 𝐹))
23 fvres 6099 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) = (𝐹𝑘))
2423eleq1d 2668 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢 ↔ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
2522, 24anbi12d 742 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2619, 25syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑗)) → ((𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ (𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2726ralbidva 2964 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
2827rexbiia 3018 . . . . . 6 (∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢) ↔ ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))
2928imbi2i 324 . . . . 5 ((𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
3029ralbii 2959 . . . 4 (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))
3130a1i 11 . . 3 (𝜑 → (∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)) ↔ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢))))
3217, 313anbi13d 1392 . 2 (𝜑 → (((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
33 lmres.5 . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
341, 18, 33lmbr2 20812 . 2 (𝜑 → ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom (𝐹 ↾ (ℤ𝑀)) ∧ ((𝐹 ↾ (ℤ𝑀))‘𝑘) ∈ 𝑢)))))
351, 18, 33lmbr2 20812 . 2 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ∈ (𝑋pm ℂ) ∧ 𝑃𝑋 ∧ ∀𝑢𝐽 (𝑃𝑢 → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑀)∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝑘 ∈ dom 𝐹 ∧ (𝐹𝑘) ∈ 𝑢)))))
3632, 34, 353bitr4rd 299 1 (𝜑 → (𝐹(⇝𝑡𝐽)𝑃 ↔ (𝐹 ↾ (ℤ𝑀))(⇝𝑡𝐽)𝑃))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 194  wa 382  w3a 1030  wcel 1976  wral 2892  wrex 2893  Vcvv 3169  wss 3536   class class class wbr 4574  dom cdm 5025  cres 5027  cfv 5787  (class class class)co 6524  pm cpm 7719  cc 9787  cz 11207  cuz 11516  TopOnctopon 20457  𝑡clm 20779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1712  ax-4 1727  ax-5 1826  ax-6 1874  ax-7 1921  ax-8 1978  ax-9 1985  ax-10 2005  ax-11 2020  ax-12 2032  ax-13 2229  ax-ext 2586  ax-sep 4700  ax-nul 4709  ax-pow 4761  ax-pr 4825  ax-un 6821  ax-cnex 9845  ax-resscn 9846  ax-pre-lttri 9863  ax-pre-lttrn 9864
This theorem depends on definitions:  df-bi 195  df-or 383  df-an 384  df-3or 1031  df-3an 1032  df-tru 1477  df-ex 1695  df-nf 1700  df-sb 1867  df-eu 2458  df-mo 2459  df-clab 2593  df-cleq 2599  df-clel 2602  df-nfc 2736  df-ne 2778  df-nel 2779  df-ral 2897  df-rex 2898  df-rab 2901  df-v 3171  df-sbc 3399  df-csb 3496  df-dif 3539  df-un 3541  df-in 3543  df-ss 3550  df-nul 3871  df-if 4033  df-pw 4106  df-sn 4122  df-pr 4124  df-op 4128  df-uni 4364  df-iun 4448  df-br 4575  df-opab 4635  df-mpt 4636  df-id 4940  df-po 4946  df-so 4947  df-xp 5031  df-rel 5032  df-cnv 5033  df-co 5034  df-dm 5035  df-rn 5036  df-res 5037  df-ima 5038  df-iota 5751  df-fun 5789  df-fn 5790  df-f 5791  df-f1 5792  df-fo 5793  df-f1o 5794  df-fv 5795  df-ov 6527  df-oprab 6528  df-mpt2 6529  df-1st 7033  df-2nd 7034  df-er 7603  df-pm 7721  df-en 7816  df-dom 7817  df-sdom 7818  df-pnf 9929  df-mnf 9930  df-xr 9931  df-ltxr 9932  df-le 9933  df-neg 10117  df-z 11208  df-uz 11517  df-top 20460  df-topon 20462  df-lm 20782
This theorem is referenced by:  esumcvg  29278
  Copyright terms: Public domain W3C validator