MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnext Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnext 25379
Description: Extend a line with a missing point. Theorem 4.14 of [Schwabhauser] p. 37. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tglngval.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
tglngval.l 𝐿 = (LineG‘𝐺)
tglngval.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
tglngval.g (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
tglngval.x (𝜑𝑋𝑃)
tglngval.y (𝜑𝑌𝑃)
tgcolg.z (𝜑𝑍𝑃)
lnxfr.r = (cgrG‘𝐺)
lnxfr.a (𝜑𝐴𝑃)
lnxfr.b (𝜑𝐵𝑃)
lnxfr.d = (dist‘𝐺)
lnext.1 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
lnext.2 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
Assertion
Ref Expression
lnext (𝜑 → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
Distinct variable groups:   ,𝑐   ,𝑐   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐼,𝑐   𝑃,𝑐   𝑋,𝑐   𝑌,𝑐   𝑍,𝑐   𝜑,𝑐
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑐)   𝐿(𝑐)

Proof of Theorem lnext
StepHypRef Expression
1 tglngval.p . . . . 5 𝑃 = (Base‘𝐺)
2 lnxfr.d . . . . 5 = (dist‘𝐺)
3 tglngval.i . . . . 5 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 tglngval.g . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ TarskiG)
5 lnxfr.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑃)
6 lnxfr.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑃)
7 tglngval.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑃)
8 tgcolg.z . . . . 5 (𝜑𝑍𝑃)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8axtgsegcon 25280 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍)))
109adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍)))
11 lnxfr.r . . . . . 6 = (cgrG‘𝐺)
124ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
13 tglngval.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑃)
1413ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑋𝑃)
157ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑌𝑃)
168ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑍𝑃)
175ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝐴𝑃)
186ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝐵𝑃)
19 simplr 791 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑐𝑃)
20 lnext.2 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
2120ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
22 simprr 795 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))
2322eqcomd 2627 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝑌 𝑍) = (𝐵 𝑐))
24 simpllr 798 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍))
25 simprl 793 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → 𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐))
261, 2, 3, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 21, 23tgcgrextend 25297 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝑋 𝑍) = (𝐴 𝑐))
271, 2, 3, 12, 14, 16, 17, 19, 26tgcgrcomlr 25292 . . . . . 6 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → (𝑍 𝑋) = (𝑐 𝐴))
281, 2, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 23, 27trgcgr 25328 . . . . 5 ((((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍))) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
2928ex 450 . . . 4 (((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
3029reximdva 3012 . . 3 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → (∃𝑐𝑃 (𝐵 ∈ (𝐴𝐼𝑐) ∧ (𝐵 𝑐) = (𝑌 𝑍)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
3110, 30mpd 15 . 2 ((𝜑𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
321, 2, 3, 4, 6, 5, 13, 8axtgsegcon 25280 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍)))
3332adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ∃𝑐𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍)))
344ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝐺 ∈ TarskiG)
3513ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑋𝑃)
367ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑌𝑃)
378ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑍𝑃)
385ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝐴𝑃)
396ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝐵𝑃)
40 simplr 791 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑐𝑃)
4120ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
42 simpllr 798 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍))
43 simprl 793 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → 𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐))
441, 2, 3, 34, 35, 36, 38, 39, 41tgcgrcomlr 25292 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑌 𝑋) = (𝐵 𝐴))
45 simprr 795 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))
4645eqcomd 2627 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑋 𝑍) = (𝐴 𝑐))
471, 2, 3, 34, 36, 35, 37, 39, 38, 40, 42, 43, 44, 46tgcgrextend 25297 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑌 𝑍) = (𝐵 𝑐))
481, 2, 3, 34, 35, 37, 38, 40, 46tgcgrcomlr 25292 . . . . . 6 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → (𝑍 𝑋) = (𝑐 𝐴))
491, 2, 11, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 47, 48trgcgr 25328 . . . . 5 ((((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍))) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
5049ex 450 . . . 4 (((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
5150reximdva 3012 . . 3 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → (∃𝑐𝑃 (𝐴 ∈ (𝐵𝐼𝑐) ∧ (𝐴 𝑐) = (𝑋 𝑍)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
5233, 51mpd 15 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
534adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
5413adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑋𝑃)
558adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍𝑃)
567adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑌𝑃)
575adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐴𝑃)
586adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝐵𝑃)
59 simpr 477 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
6020adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (𝑋 𝑌) = (𝐴 𝐵))
611, 2, 3, 11, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60tgcgrxfr 25330 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ∃𝑐𝑃 (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩))
624ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐺 ∈ TarskiG)
6313ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑋𝑃)
648ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑍𝑃)
657ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑌𝑃)
665ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐴𝑃)
67 simplr 791 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝑐𝑃)
686ad3antrrr 765 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → 𝐵𝑃)
69 simprr 795 . . . . . 6 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)
701, 2, 3, 11, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69cgr3swap23 25336 . . . . 5 ((((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) ∧ (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩)) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
7170ex 450 . . . 4 (((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) ∧ 𝑐𝑃) → ((𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩) → ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
7271reximdva 3012 . . 3 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → (∃𝑐𝑃 (𝑐 ∈ (𝐴𝐼𝐵) ∧ ⟨“𝑋𝑍𝑌”⟩ ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩))
7361, 72mpd 15 . 2 ((𝜑𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)) → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
74 lnext.1 . . 3 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍))
75 tglngval.l . . . 4 𝐿 = (LineG‘𝐺)
761, 75, 3, 4, 13, 8, 7tgcolg 25366 . . 3 (𝜑 → ((𝑌 ∈ (𝑋𝐿𝑍) ∨ 𝑋 = 𝑍) ↔ (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌))))
7774, 76mpbid 222 . 2 (𝜑 → (𝑌 ∈ (𝑋𝐼𝑍) ∨ 𝑋 ∈ (𝑌𝐼𝑍) ∨ 𝑍 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
7831, 52, 73, 77mpjao3dan 1392 1 (𝜑 → ∃𝑐𝑃 ⟨“𝑋𝑌𝑍”⟩ ⟨“𝐴𝐵𝑐”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wo 383  wa 384  w3o 1035   = wceq 1480  wcel 1987  wrex 2908   class class class wbr 4618  cfv 5852  (class class class)co 6610  ⟨“cs3 13532  Basecbs 15792  distcds 15882  TarskiGcstrkg 25246  Itvcitv 25252  LineGclng 25253  cgrGccgrg 25322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1719  ax-4 1734  ax-5 1836  ax-6 1885  ax-7 1932  ax-8 1989  ax-9 1996  ax-10 2016  ax-11 2031  ax-12 2044  ax-13 2245  ax-ext 2601  ax-rep 4736  ax-sep 4746  ax-nul 4754  ax-pow 4808  ax-pr 4872  ax-un 6909  ax-cnex 9944  ax-resscn 9945  ax-1cn 9946  ax-icn 9947  ax-addcl 9948  ax-addrcl 9949  ax-mulcl 9950  ax-mulrcl 9951  ax-mulcom 9952  ax-addass 9953  ax-mulass 9954  ax-distr 9955  ax-i2m1 9956  ax-1ne0 9957  ax-1rid 9958  ax-rnegex 9959  ax-rrecex 9960  ax-cnre 9961  ax-pre-lttri 9962  ax-pre-lttrn 9963  ax-pre-ltadd 9964  ax-pre-mulgt0 9965
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1483  df-ex 1702  df-nf 1707  df-sb 1878  df-eu 2473  df-mo 2474  df-clab 2608  df-cleq 2614  df-clel 2617  df-nfc 2750  df-ne 2791  df-nel 2894  df-ral 2912  df-rex 2913  df-reu 2914  df-rmo 2915  df-rab 2916  df-v 3191  df-sbc 3422  df-csb 3519  df-dif 3562  df-un 3564  df-in 3566  df-ss 3573  df-pss 3575  df-nul 3897  df-if 4064  df-pw 4137  df-sn 4154  df-pr 4156  df-tp 4158  df-op 4160  df-uni 4408  df-int 4446  df-iun 4492  df-br 4619  df-opab 4679  df-mpt 4680  df-tr 4718  df-eprel 4990  df-id 4994  df-po 5000  df-so 5001  df-fr 5038  df-we 5040  df-xp 5085  df-rel 5086  df-cnv 5087  df-co 5088  df-dm 5089  df-rn 5090  df-res 5091  df-ima 5092  df-pred 5644  df-ord 5690  df-on 5691  df-lim 5692  df-suc 5693  df-iota 5815  df-fun 5854  df-fn 5855  df-f 5856  df-f1 5857  df-fo 5858  df-f1o 5859  df-fv 5860  df-riota 6571  df-ov 6613  df-oprab 6614  df-mpt2 6615  df-om 7020  df-1st 7120  df-2nd 7121  df-wrecs 7359  df-recs 7420  df-rdg 7458  df-1o 7512  df-oadd 7516  df-er 7694  df-pm 7812  df-en 7908  df-dom 7909  df-sdom 7910  df-fin 7911  df-card 8717  df-cda 8942  df-pnf 10028  df-mnf 10029  df-xr 10030  df-ltxr 10031  df-le 10032  df-sub 10220  df-neg 10221  df-nn 10973  df-2 11031  df-3 11032  df-n0 11245  df-xnn0 11316  df-z 11330  df-uz 11640  df-fz 12277  df-fzo 12415  df-hash 13066  df-word 13246  df-concat 13248  df-s1 13249  df-s2 13538  df-s3 13539  df-trkgc 25264  df-trkgb 25265  df-trkgcb 25266  df-trkg 25269  df-cgrg 25323
This theorem is referenced by:  legov  25397  legov2  25398  legtrd  25401  symquadlem  25501  trgcopy  25613  cgrg3col4  25651
  Copyright terms: Public domain W3C validator